2. Количественные характеристики надежности

Показатели надежности — это количественная характеристика од­ного или нескольких свойств, составляющих надежность объекта. Если показатель надежности характеризует одно из свойств надежности, то он называется единичным, если же несколько свойств — комплексным показателем надежности. Единичные показатели надежности объектов приведены в таблице:

Свойство надежности	Единичный показатель надежности
Безотказность	Вероятность безотказной работы Средняя наработка до отказа Гамма-проиентная наработка до отказа Средняя наработка на отказ Интенсивность отказов Параметр потока отказов
Долговечность	Средний ресурс Гамма-процентный ресурс Назначенный ресурс Средний срок службы Гамма-процентный срок службы Назначенный срок службы
Ремонтопригодность	Вероятность восстановления в заданное время Среднее время восстановления Интенсивность восстановления
Сохраняемость	Средний срок сохраняемости Гамма-процентный срок сохраняемости

Вероятность безотказной работы. Под вероятностью безотказной работы (ВБР) объекта понимается вероятность того, что в пределах за­данной наработки отказ объекта не возникнет. ВБР является основной количественной характеристикой безотказности объекта на заданном временном интервале. Если обозначить через Р время непрерывной ис­правной работы объекта от начала работы до первого отказа, а через t — время, за которое необходимо определить ВБР, то ВБР записывает­ся в виде:

P(t) = P{T ≥ t}, t ≥ 0.

Случайная величина Т является неотрицательной и имеет дискрет­ное или непрерывное распределение. Функция ВБР наиболее полно определяет надежность объекта. Она обладает следующими очевидными свойствами:

1. 1 ≥ P(t) ≥ 0; 2) P(0) = 1, P(∞) = 0

Статистически ВБР равна:

где N₀ — число объектов в начале испытаний; п, — число отказавших объектов в интервале времени Δt, t — время, для которого определяется ВБР; N(t) — число объектов, исправно работающих на интервале [0,t].

Вероятность того, что отказ объекта произойдет за время, не превы­шающее заданной величины t, т.е. что Т < t, как вероятность события, противоположного тому, при котором t≤ Т, равна

Q(t) = Р{Т< t} = 1 – P(t), 0 < t.

Функция Q(t) представляет собой интегральную функцию распреде­ления случайной величины, т.е. Q(t) — F(t). Если функция Q(t) диффе­ренцируема, то производная от интегральной функции распределения есть дифференциальный закон (плотность) распределения случайной величины Т — времени исправной работы:

dF(t)/dt = dQ(t)/dt = f(t), f(t) = - dP(t)/dt

Таким образом, безотказность объекта также можно характеризо­вать плотностью вероятностей момента первого отказа. Статистически вероятность отказа равна:

Плотность вероятности f(t) статистически определяется по формуле:

f( ) = /(N₀

где Δn(Δt) — число отказов за интервал времени Δt. Очевидно, что:

Q(t) = ( )d и P(t) = ( )d

Средняя наработка до отказа. Функции распределения (интеграль­ная функция или плотность) полностью характеризуют случайную ве­личину. Однако для решения некоторых задач достаточно знать только несколько моментов случайной величины. Напомним, что моментом k-го порядка называют интеграл:

m_k =

если величина этого интеграла конечна. В теории надежности чаще все­го используют моменты первых двух порядков. Момент первого поряд­ка (математическое ожидание) наработки до первого отказа m₁{T} обозначают Т_ср и называют средней наработкой до отказа (или средним временем безотказной работы):

T_ср = .

Статистическая средняя наработка до отказа однотипных объектов равна:

T_cp ≈ 1/N₀

Где t — время исправной работы j-го объекта.

Гамма-процентная наработка до отказа Т_у% — это наработка, в тече­ние которой отказ объекта не возникнет с вероятностью у, выраженной в процентах. Гамма-процентная наработка определяется из уравнения:

При у ⁼ 100% гамма-процентная наработка называется установлен­ной безотказной наработкой, при у — 50% гамма-процентная наработка называется медианной наработкой.

Средняя наработка на отказ — это отношение наработки восстанав­ливаемого объекта к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки

T₀ ≈ 1/n

где t_срi — время исправной работы между (i- 1)-м и i-м отказами объ­екта; п — число отказов объекта.

При достаточно большом числе отказов t_ср будет стремиться к сред­нему времени между двумя соседними отказами. Если испытания про­водятся не с одним, а с несколькими однотипными объектами, то сред­нее время между отказами можно определить из выражения:

T₀ ≈ 1/M

где М — число объектов.

Интенсивность отказов — это отношение числа отказавших объек­тов в единицу времени к среднему числу объектов, продолжающих исп­равно работать в данный интервал времени:

Λ(t) = ,

где Δn(Δt) — число отказов объекта за промежуток времени от (t - Δt/2) до(t + Δt/2)

N(t) = (N_i-1+N_i)/2,

N_i-1 — число исправно работающих объектов в начале интервала време­ни Δt; — число исправно работающих объектов в конце интервала времени Δt.

Параметр потока отказов — это отношение среднего числа отказов восстанавливаемого объекта за произвольно малую его наработку к зна­чению этой наработки. Параметр потока отказов ω(t) используют в ка­честве показателя безотказности восстанавливаемых объектов, эксплуа­тация которых может быть описана следующим образом: в начальный момент времени объект начинает работу и работает до отказа; после от­каза происходит восстановление работоспособности и объект вновь ра­ботает до отказа и т.д. При этом время восстановления не учитывается: принимается, что восстановление работоспособности происходит как бы мгновенно. Для таких объектов моменты отказов на оси суммарной наработки или на оси непрерывного времени образуют поток отказов. В качестве характеристики потока отказов используют «ведущую функ­цию» Ω (f) данного потока — математическое ожидание числа отказов за время t:

Ω(t) = M{n(t)}.

Параметр потока отказов ω(t) характеризует среднее число отказов ожидаемых на малом интервале времени, и равен:

ω(t) = Ω’(t) =

Параметр потока отказов связан с ведущей функцией соотношением:

Ω(t) =

Статистически параметр потока отказов можно определить по формуле:

ω(t) = n₁( )/(N₀ ,

где n₁( ) – общее число отказов восстанавливаемого объекта за интервал времени от t – до t +

Средний ресурс T_p – это математическое ожидание ресурса.

Вероятность восстановления. Момент восстановления работоспо­собности объекта после отказа является случайным событием. Поэтому интервал времени от момента отказа до момента восстановления явля­ется случайной величиной и для характеристики ремонтопригодности может быть использована функция распределения этой случайной вели­чины Θ. Вероятностью восстановления называется вероятность того, что время восстановления работоспособного состояния объекта не превы­сит заданного:

P_B(t) = P{ Θ <t}, 0 < t.

Функция P_B(t) представляет собой интегральную функцию распреде­ления случайной величины Θ. Вероятность невосстановления на задан­ном интервале t, т.е. вероятность того, что Θ > t, равна

Q_B(t) = P{t ≤ 0} = 1 - P_B(t),

Плотность вероятности момента воостановления равна:

f_B(t) = dP_B(t)/dt, t ≥0.

Среднее время восстановления равно:

T_B = 1/n T_Bi