Билет №32. Производная обратной функции, производная арксинуса и арктангенса

Пусть   - дифференцируемая функция от аргумента x в некотором интервале  . Если в уравнении   y считать аргументом, а x - функцией, то возникает новая функция  , где   - функция обратная данной.

Теорема о дифференцировании обратной функции

Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции

Для арксинуса:

Для арктангенса:

Билет №33. Свойства функций, непрерывных на отрезке, теорема Ролля, теорема Лагранжа

Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

Теорема утверждает, что если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы одна точка x₁ принадлежащая [a, b] такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x₁) ≥ f(x). Аналогично найдётся такая точка x₂, в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x₁) ≤ f(x).

Замечание. Утверждение теоремы можно стать неверным, если рассмотреть значение функции на интервале (a, b). Следствие. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

Теорема 2. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда внутри отрезка [a, b] найдется, по крайней мере, одна точка x = C, в которой функция обращается в ноль: f(C) = 0, где a < C< b

Эта теорема имеет простой геометрический смысл: если точки графика непрерывной функции y = f(x), соответствующие концам отрезка [a, b] лежат по разные стороны от оси Ox, то этот график хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось Ox. Разрывные функции этим свойством могут не обладать.

Теорема 3. (теорема о промежуточных значениях). Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B. Тогда для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка

C [a, b], что f(c) = C.

Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции

y = f(x). Пусть f(a) = A, f(b) = B.

Тогда любая прямая y = C, где C – любое число, заключённое между A и B, пересечёт график функции, по крайней мере, в одной точке. Абсцисса точки пересечения и будет тем значением x = C, при котором f(c) = C.

Следствие. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает, по крайней мере, один раз любое значение, заключённое между её наименьшим и наибольшим значениями.

Теорема Ролля

Если функция, непрерывная на отрезке   и дифференциируемая на интервале  , принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Геометрический смысл. Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

Теорема Лагранжа

Пусть функция     дифференцируема в открытом промежутке     и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка   , что

Следствие 1. В частном случае, когда   , из теоремы Лагранжа вытекает, что существует точка   , в которой производная функции    равна нулю:   . Это означает, что теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля. 

Следствие 2. Если     во всех точках некоторого промежутка   , то    в этом промежутке. Действительно, пусть     и     – произвольные точки промежутка     и   . Применяя теорему Лагранжа к промежутку   , получим