Билет 23Односторонние пределы функции

П.1 Определение.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторых окрестностях точки , функция f(x) называется непрерывной в т. , если

Непрерывность слева f(x) определена ( -бесконечность; ] Непрерывность справа f(x) определена [ ; + бесконечность]

Графики:

Точки разрыва и их классификация

Теорема. Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют односторонние пределы и совпадают.

Определение: точка называется точкой разрыва, если в этой точке функция не определена или если определена и не является непрерывной. Логически возможны три случая.

а) устранимый разрыв

б) конечный разрыв. Скачок функции равен

в) Если один из односторонних пределов бесконечен или не существует, то разрыв называется разрывом второго рода

Вопрос № 24 Понятие производной функции (1). Понятие секущей и касательной (2). Геометрический смысл производной (3).

1. Пусть y=f(x) определена в О(x₀) и пусть x₀+Δx ∈ O(x₀) Δf = f(x₀+Δx) - f(x₀) – приращение функции в точке х₀, соответствующее приращению Δх.

Говорят также, что производная – это скорость изменения функции.

2. Определение: при данном Δх прямая, соединяющая точки (х₀;f(x₀)) и (х₀+Δх;f(x₀+Δx)), называется секущей при данном приращении Δх. Определение: касательной к графику функции в данной точке называется предельное положение секущей при Δх→0, если такое существует.

С геометрической точки зрения дифференциал – это приращение касательной, отвечающее данному приращению аргумента.

Вопрос №25 Вычисление по определению производной синуса.

y = sinx

Δy = sin(x+Δx) – sinx = 2sin( )*cos( ) (так как cosx – непрерывная)

Билет №26.

Вычисление по определению производной степенной функции y=xⁿ при n=2, n=3.

1.Определение: Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ (О_(Хо))  и пусть x₀ +Δx ∈ О_(Хо) Δf = f(x₀ +Δ x) – f (x₀) - приращение f(x) в точке x₀ , соответствующее Δ x.

f’ (x0) = lim Δf/Δx Δx→ 0

ПроизвоΔдная в точке x₀ :

Говорят также, что производная – это скорость изменения функции.

2.Пример вычисление производно по определению:

а)n=3

y=x³

Δy= (x+Δx)³ – x³

Δy= x³+3x²Δx+3x(Δx)²+(Δx)³-x³

Δy/Δx=3x²+3xΔx+(Δx)²→ 3x²

(x³)’ =3x²

б)n=2

y=x²

Δy=(x+ Δx)²- x²

Δy= x²+2xΔx+(Δx)²-x²

Δy/Δx=2x+Δx→2x

(x²)’=2x

Билет №27.

Понятие дифференцируемости функции. Теорема о том, что функция дифференцируема в данной точке тогда и только тогда, когда имеет производную в этой точке.

1.Определение и основное свойство:

Определение Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение Δy в точке x0 может быть представлено в виде: Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx, где A -- некоторое число, независящее от Δx, а α(Δx)-- бесконечно малая функция от переменной Δx, т.е. limΔx→0α(Δx)=0.

Теорема Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела конечную производную.

Доказательство Необходимость. Предположим: функция дифференцируема в точке x0, т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx. Разделив обе части данного равенства на Δx, получим: ΔxΔy=A+α(Δx). Из определения производной функции в точке: y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0(A+α(Δx))=A.

Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке x0 и y/(x0)=A. Достаточность. Пусть существует конечная производная y/(x0)∈R . Покажем дифференцируемость функции. y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy.

Если функция f(x) имеет конечный предел b при Δx→0 , то ее можно представить: f(x)=b+α(x) (α(x)→0) . Исходя из этого: ΔxΔy=y/(x0)+α(Δx), где limΔx→0α(Δx)=0, Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y/(x0) . Теорема доказана.

 Определение. Дифференциалом функции y=f(x) в точке x0 называется главная линейная относительно Δx часть приращения функции Δy в данной точке.

Билет №28. Непрерывность дифференцируемой функции…

Теорема: если функция дифференцируема, то она непрерывна (если функция имеет производную, то она непрерывна).

Н епрерывность означает f(x0)=lim f(x) x 0. Это тоже, что f 0.

!!!непрерывная функция не обязана быть дифференцируемой.

Пример: y=|x| непрерывна в точке х=0, но не дифференцируема.

Здесь односторонние приделы не совпадают, значит предел не существует.

Замечание: 1)понятие производной и понятие дифференцируемая вводится также и для функции нескольких переменных. В случае нескольких переменных эти понятия не совпадают.

2) существует функция в каждой точке непрерывная и не в одной точке, не имеющая производной.

Производная стремится к бесконечности, когда касательная более перпендикулярна к оси Х.

Бидет №29. Таблица производных. Правила дифференцирования. Производная тангенса .

Правила дифференцирования.

Производная тангенса.

Билет № 30

Производная сложной функции. Примеры.

Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Областью определения функции y = f(u(x)) является либо вся область определения функции u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из области определения функции y= f(u).

Теорема. Если функция u= u(x) имеет в некоторой точке x₀ производную и принимает в этой точке значение u₀ = u(x₀), а функция y= f(u) имеет в точке u производную y'_u= f '(u₀), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x₀ тоже имеет производную, которая равна y'_x= f '(u₀)·u '(x₀), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x).

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x.

Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной.

Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной

y'_x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы.

По доказанному правилу имеем y'_x = y'_u·u'_x. Применяя эту же теорему для u'_x получаем , т.е.

y'_x = y'_x · u'_x· v '_x = f'_u (u)·u'_v (v)·v'_x (x).

Примеры:

1)

2)

Билет № 31

Обратная функция и ее производная. Производная логарифмической функции.

y=f(x) x принадлежит D

x=g(y) обратная ф-ция

f(g(y))=y

g(f(x))=x

g(y) является функцией, только если осуществляется однозначное соответствие, для этого необходимо, чтобы разным значениям аргумента Х соответствовали разные значения У.

x₁ ≠ x₂ => f(x₁)≠f(x₂)

Это выполняется, если y=f(x) строго монотонная .

Производная:

x=g(f(x)) , где g- обратная к f

1=g'(f(x)) * f '(x) (f '(x) ≠0)

g'(f(x)) = 1/f '(x)

x'_y = 1/у'_x у'_x =1/ x'_у

Производная логарифмической функции.

(ln x)' = 1/x

(log _a x)' = 1/xln a