Билет№ 16. Предел функции. Определение через окрестность. Графическая иллюстрация.

=a

Значение a называется пределом функции f(x) в точке , если для любого 0

выполняется неравенство .

Билет№ 17. Предел функции. Определение через пределы последовательности. Доказать, что функция Дирихле ни в одной точке не имеет предела.

З начение a называется пределом функции    в точке  , если для любой последовательности точек , стремящейся к  , но не содержащей   в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности   ), последовательность значений функции   стремится к а.

Функция Дирихле́ — функция, принимающая значение 1, если аргумент есть рациональное число, и значение 0, если аргумент есть иррациональное число.

Функция Дирихле́ является всюду разрывной функцией: во всякой окрестности каждой точки вещественной прямой содержатся как рациональные, так и иррациональные числа, и, следовательно, данная функция не будет иметь предела ни в одной точке области определения.

Действительно, если выбрать последовательность рациональных чисел, стремящихся к a, то соответствующая последовательность значений функции стремится к единице. Если выбрать последовательность иррациональных значений, то значения функции стремится к нулю. Следовательно, на основании определения через пределы последовательностей данная функция не имеет предела.

18 Билет Теорема о двух полицейских для функций. Первый замечательный пример ( с доказательством ). Пример.

Теорема называется так благодаря таким фактам. Если два милицейских удерживают между собой злоумышленника и при том направляются в клетку, то узник также должен идти туда.

Формулируется теорема следующим образом:

Первый замечательный предел с доказательством. Пример.

Билет№ 19

Второй замечательный предел. Примеры.

Билет №20. Понятие непрерывной функции. Понятие устранимого разрыва. Пример функции с устранимым разрывом, задаваемой формулой.

Понятие :

Непрерывная функция — функция без «скачков», то есть такая, у которой малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции.

ε-δ определение Пусть и .

Функция непрерывна в точке , если для любого существует такое, что для любого

Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке данного множества.Другими словами, функция непрерывна в точке , предельной для множества , если имеет предел в точке , и этот предел совпадает со значением функции . Функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.

Понятие устранимого разрыва :

Теорема: предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют односторонние пределы. Lim f(x)= a <-> Lim f(x) =a = Lim f(x) _ X  X 0 + O X X 0 – O

Точка X 0 – точка разрыва,если в ней функция неопределенна или,если определена,то не является непрерывной. Устранимый разрыв – это разрыв, при котором функция определяется так, что она становится непрерывной. Lim f(x) =a = Lim f(x) _ X  X 0 - O X X 0 + O

Если предел функции существует, но он не совпадает со значением функции в данной точке: Lim f(x) ≠f(a) , тогда точка называется точкой устранимого разрыва функции. . x  a

Пример функции с устранимым разрывом___:

Рассмотрим функцию . Её область определения D(f)=(- ∞ ;0)U(0; + ∞ ) состоит из точек непрерывности, так как это элементарная функция. Точка X 0 =0, в которой функция не определена,  это точка разрыва функции.

Поскольку при , то . Это означает, что при x = 0функция имеет устранимый разрыв и становится непрерывной на всей вещественной оси, если положить .     

Билет №21. Функции, непрерывные на отрезке. Их свойства. Примеры.

Функцию y = f(x) называют непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, а на его концах, т.е. в точках a и b, непрерывна соответственно справа и слева.

Свойства:(наибольшее и наименьшее значения)

Теорема 1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], хотя бы в одной точке этого отрезка принимает наибольшее значение и хотя бы в одной – наименьшее.

Т еорема утверждает, что если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы одна точка x₁ Î [a, b] такая, что значение функции f(x) в этой точке будет самым большим из всех ее значений на этом отрезке: f(x₁) ≥ f(x). Аналогично найдётся такая точка x₂, в которой значение функции будет самым маленьким из всех значений на отрезке: f(x₁) ≤ f(x).

Ясно, что таких точек может быть и несколько, например, на рисунке показано, что функция f(x) принимает наименьшее значение в двух точках x₂ и x₂'.

Теорема 2 (об ограниченности непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "x О [a, b] выполняется неравенство |f(x)| ≤ C.

Пример: Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [1; 4] Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть D(y)=(- ∞; 0)U(0; + ∞). Оба отрезка попадают в область определения. Находим производную функции по правилу дифференцирования дроби:

Стационарные точки определим из уравнения . Единственным действительным корнем является x = 2. Эта стационарная точка попадает в первый отрезок [1; 4]. Для первого случая вычисляем значения функции на концах отрезка и в стационарной точке, то есть при x = 1, x = 2 и x = 4 и получим y(1)=5 , y(2)=3 , y(4)=4,25 Следовательно, наибольшее значение функции y=5 достигается при x = 1, а наименьшее значение y=3 при x = 2.. №22 Теорема о нуле непрерывной функции. Теорема о среднем значении для функции, непрерывной на отрезке (с выводом из теоремы о нуле)…

Рисунок 1.3.7.1. Теорема Коши о нулях непрерывной функции. Только на одном из отрезков – [a3; b3] – имеется нуль функции, так как на этом отрезке функция непрерывна и принимает значения разных знаков на концах

Теорема Коши. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на его концах значения разных знаков, то на отрезке [a; b] имеется хотя бы один нуль функции f. При этом, если функция строго монотонна на этом отрезке, то она принимает значение 0 лишь один раз.

Теорема о промежуточных(средних) значениях. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b] и f (a) ≠ f (b), то для каждого значения y, заключенного между f (a) и f (b), найдется точка   (и возможно, не одна) такая, что f (x) = y.