Билет №14.

Теорема о переходе к пределу в неравенства: Если   или    на   и существуют    и  , то  .

Теорема о 2х полицейских: Т: Пусть даны три последовательности: {Xn}, {Yn}, {Zn}. Причем Xn<=Yn<=Zn. При этом существует limXn=a=limZn (при n→∞), тогда limYn=a (при n→∞)

Доказательство:

1) Докажем, что Zn-Xn – бесконечно малая последовательность (бм)

Zn-Xn=Zn - a +a - Xn (Zn – a есть бм, + a – Xn – есть бм) => б.малая!

2) Докажем: Yn – Xn – бесконечно малая

0≤ Yn - Xn≤ Zn – Xn (а это бесконечно малая посл.) для любого E>0 существует N для каждого из которых n>N

|Zn – Xn| < E => |Yn – Xn| < E

Zn – Xn<E => Yn – Xn<E

3) Докажем: Yn – a – б.мал.

Yn - a = (Yn – Xn /есть б.мал.) + (Xn – a/ есть б.мал) – сумма б.малых есть б.малая.

Доказать: lim(2^n/n!)=0 при n→∞ 2^n/n!=2/1*2/3*2/4*…*2/n<< 2*1*(2/3)^(n-2) 0<2^n/n!< 2*(2/3)^(n-2). И придел от нуля, и придел от 2*(2/3)^(n-2) при n→∞ =0, то и lim(2^n/n!)=0.

Билет№15. Ограниченные последовательности. Теорема о существовании предела ограниченной последовательности. Число е.

Ограниченные последовательности:

Последовательность Yn называется ограниченной сверху, если существует такое число U, что Yn<или =U для любых номеров n. При этом число U называется верхней границей последовательности.

Последовательность Yn называется ограниченной снизу, если существует такое число L, что Yn>или=L для любых номеров n. Число L называется нижней границей последовательности.

Последовательность Yn называется ограниченной, если существуют такие числа L и U, что L<или=Yn< или=U для всех n = 1,2,3,…

Т1. Любая ограниченная сверху последовательность имеет наименьшую верхнюю границу.

Т2. Любая ограниченная снизу последовательность имеет наибольшую нижнюю границу.

Теорема о существовании предела ограниченной последовательности (теорема Вейерштрасса)

Если последовательность ограничена сверху и монотонно возрастает, то она обязана иметь предел. Аналогичное утверждение существует для убывающей последовательности.

Определение: Последовательность Xn не убывает(не возрастает),если для

Определение: Последовательность Xn возрастает(убывает), если для

Определение: Строго возрастающая или строго убывающая последовательность называется монотонной последовательностью.

Теорема. Если Xn не убывает и ограничена сверху, то она сходится. Если Xn не возрастает и ограничена снизу, то она сходится.

Число е.

e — математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».Число e играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также во многих других разделах математики.

Способы определения:

1)Через предел(второй замечательный предел)

Число e иррационально и даже трансцендентно. Его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.

• Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом: