30. Необхідна й достатня умова сталості функції. Доведення.

Нехай характеристичне рівняння лінійної системи   в розгорнутій формі має вигляд:

 . 

Доведемо, що необхідною умовою стійкості є додатність усіх коефіцієнтів характеристичного рівняння, тобто:

 , якщо   (12.2)

(цьому задовольняє і випадок усіх від’ємних коефіцієнтів, якщо   , тому що можна поміняти всі знаки на зворотні).

Для доведення розкладемо ліву частину характеристичного рівняння на множники:

 , 

Нехай усі його корені мають від’ємні дійсні частини:

 ,  ,  .

Поставивши їх у рівняння, одержимо:

 .

Оскільки середні два співмножники дають:

[  ],

то видно, що після перемноження усіх дужок отримаємо у рівнянні тільки додатні коефіцієнти.

30. Необхідна й достатня умова зростання і спадання функції. Доведення.

Для того, щоб диференційовна на проміжку X функція   не спадала (не зростала) на цьому проміжку, необхідно і достатньо, щоб її похідна в усіх точках цього проміжку була невід’ємна (недодатна), тобто   ( ).

Якщо похідна функції в усіх точках проміжку додатна (від’ємна), то функція зростає (спадає) на цьому проміжку.

Доведення. Необхідність. Нехай диференційовна функція   зростає на проміжку X. Тоді   приросту аргументу   відповідає приріст функції  , а для   відповідає приріст функції  . Таким чином, в обох випадках   і тоді  , тобто  .

Аналогічно доводиться необхідна умова спадання функції.

 

Достатність. Нехай    . Тоді за теоремою Лагранжа   таке, що  . Але оскільки   за умовою, то, якщо  , отримаємо, що  . Отже, функція   зростає на проміжку X.

Аналогічно доводиться достатня ознака спадання функції.

 

Зауважимо, що умова   ( ) є достатньою, але не є необхідною умовою зростання (спадання) функції.

Так, наприклад, функція   зростає на всій числовій осі, але її похідна   не всюди додатна – вона перетворюється в нуль при  .

Дослідити функцію на монотонність – означає знайти проміжки, на яких вона зростає (спадає).

30. Екстремум функції. Необхідна й достатня умова екстремуму.

Екстремум функції

Означення 3.5. Точка   називається точкою локального максимуму [локального мінімуму] (local maximum [minimum]) функції  , якщо для всіх x із деякого околу точки   виконується нерівність:

 

        ( ) при  .

Означення 3.6. Точки локального максимуму (max) і локального мінімуму (min) називаються точками локального екстремуму (local extremum), а значення функції в цих точках - екстремальними значеннями функції.

 

Рис. 3.8

Рис. 3.9

 

На рис. 3.8 точка   - точка локального максимуму з екстремальним значенням  , а точка   на рис. 3.9 - точка локального мінімуму з екстремальним значенням  .

Теорема 3.12 (необхідна умова екстремуму). Якщо функція має в точці локального екстремуму похідну, то ця похідна дорівнює нулю.

Доведення. Нехай   - точка локального екстремуму функції  . Розглянемо такий окіл точки  , в якому інших екстремальних точок немає. Очевидно, що тут виконується теорема Ферма, тобто  , що і потрібно було довести.

 

Помітимо, що рівність похідної нулю не є достатньою умовою екстремуму. Так, наприклад, функція   не має точок екстремуму, але її похідна   дорівнює нулю при  .

 

Рис. 3.10

Відмітимо також, що точка може бути екстремальною у випадку коли похідна в цій точці не існує. Наприклад, функція   (рис. 3.10) має точку локального мінімуму  , але похідна в цій точці не існує (не існує дотична при  ).

 

З наведених міркувань випливає, що локальний екстремум може знаходитись лише в такій точці, де похідна дорівнює нулю або не існує.