
- •Теорема Лангранжа. Геометричний зміст теореми Лангранжа.
- •Геометрична інтерпретація
- •Теорема Коші про диференційовані на проміжку функції.
- •Правило Лопіталя. Доведення
- •Доведення Відношення нескінченно малих
- •Відношення нескінченно великих
- •Перетворення невизначеностей виду : [0 ], [00], [ 0], [1 ].
- •Формула Тейлора. Доведення.
- •Необхідна й достатня умова сталості функції. Доведення.
- •Необхідна й достатня умова зростання і спадання функції. Доведення.
- •Екстремум функції. Необхідна й достатня умова екстремуму.
- •Найбільше та найменше значення функції на відрізку.
- •Опуклість і угнутість функції. Достатня умова опуклості функції (доведення).
- •Точки перетину функції. Достатня умова для точки перетину функції.
Теорема Лангранжа. Геометричний зміст теореми Лангранжа.
Формулювання теореми
Якщо
функція
неперервна
на проміжку
, диференційована в
,
то знайдеться принаймні одна точка
така,
що має місце формула:
.
Ця формула і називається формулою Лагранжа, або формулою про скінченні прирости.
Геометрична інтерпретація
Щоб
визначити геометричний зміст теореми
Лагранжа відзначимо, що
є
кутовий коефіцієнт січної, яка проходить
через точки
та
кривої
,
є
кутовий коефіцієнт дотичної до кривої
.
Формула
Лагранжа означає, що на кривій
між
точками
та
знайдеться
точка
така,
що дотична до кривої у цій точці буде
паралельною січній.
Теорема Коші про диференційовані на проміжку функції.
Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g¢(x) ¹ 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что
.
Правило Лопіталя. Доведення
Правило
говорить, що якщо функції
і
задовольняють
такі умови:
або
;
;
в проколотому околі
;
Якщо і — диференційовані в проколотому околі ,
то
існує
.
Доведення Відношення нескінченно малих
Доведемо
теорему для випадку, коли границі функцій
дорівнюють нулю (т.з. невизначеність
вигляду
).
Оскільки
ми розглядаємо функції
і
лише
у правому проколотому півоколі точки
,
ми можемо неперервним чином їх довизначити
в цій точці: нехай
.
Візьмемо деякий
з
даного півоколу і застосуємо до
відрізку
теорему
Коші.
За цією теоремою отримаємо:
,
але
,
тому
.
Далі,
записавши визначення границі
функції відношення похідних і
позначивши останню через
,
з отриманої рівності виводимо:
для
скінченної границі і
для
нескінченої,
що є визначенням границі відношення функцій.
Відношення нескінченно великих
Доведемо
теорему для невизначеностей вигляду
.
Нехай,
для початку, границя відношення похідних
скінченна і рівна
.
Тоді, при прямуванні
до
справа,
це відношення можна записати як
,
де
— O(1).
Запишемо цю умову:
.
Зафіксуємо
з
відрізка
і
застосуємо теорему
Коші до
всіх
з
відрізка
:
,
що можна привести до такого вигляду:
.
Для
,
достатньо близьких до
,
вираз має межу першого множника правої
частини рівний одиниці (так
як
і
— константи,
а
і
прямують
до безмежності). Значить, цей множник
рівний
,
де
—
нескінченно мала функція при
прямуванні
до
справа.
Випишемо визначення цього факту,
використовуючи те ж значення
,
що і в визначенні для
:
.
Отримали,
що відношення функцій можна подати у
вигляді
,
і
.
По будь-якому данному
можна
знайти таке
,
щоб модуль різниці відношення функцій
і
був
менше
,
значить, границя відношення функцій
дійсно рівна
.
Перетворення невизначеностей виду : [0 ], [00], [ 0], [1 ].
Для
розкриття невизначеностей
видів
,
,
користуються
наступним прийомом:
знаходять межа (натурального) логарифма висловлювання,
що містить дану невизначеність. У
результаті вид невизначеності змінюється.
Після знаходження межі від
нього беруть експоненту.
Формула Тейлора. Доведення.
Теорема (Тейлора,
1685-1731, Англія) Нехай функція
в
околі точки
має
похідні до
-го
порядку включно. Якщо
з
вказаного околу, то існує точка
з
цього околу, для якої має місце формула
де
.
Ця
формула називається формулою Тейлора,
-
залишковий член.
Доведення. Позначимо
Многочлен
називається
многочленом Тейлора функції
в
околі точки
.
Тоді
залишковий член
.
Отже, нам потрібно довести, що залишковий член виражається вказаною формулою.
Нехай
.
Для довільного
розглянемо
функцію
і
.
Отже,
задовольняє
умові теореми Ролля на
.
Знайдемо похідну функції
:
або
.
За
теоремою Ролля існує
така,
що
,
тобто
або
.
Саме
цю формулу залишкового члена найчастіше
використовують. Залишковий член у
вказаній формі називається залишковим
членом у формі Лагранжа. Оскільки
,
то залишковий член
можна
записати у вигляді
.
Зустрічаються і інші форми залишкового члена формули Тейлора.
Якщо
,
то залишковий член
буде
нескінченно малою вищого порядку
порівняно з
,
тобто
при
.
Такий запис залишкового члена
формули
Тейлора називають зображенням залишкового
члена у формі Пеано.