30. Теорема Лангранжа. Геометричний зміст теореми Лангранжа.

Формулювання теореми

Якщо функція   неперервна на проміжку  , диференційована в  , то знайдеться принаймні одна точка   така, що має місце формула:

.

Ця формула і називається формулою Лагранжа, або формулою про скінченні прирости.

Геометрична інтерпретація

Щоб визначити геометричний зміст теореми Лагранжа відзначимо, що   є кутовий коефіцієнт січної, яка проходить через точки   та   кривої  ,   є кутовий коефіцієнт дотичної до кривої  . Формула Лагранжа означає, що на кривій   між точками   та   знайдеться точка  така, що дотична до кривої у цій точці буде паралельною січній.

30. Теорема Коші про диференційовані на проміжку функції.

Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g¢(x) ¹ 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что

.

30. Правило Лопіталя. Доведення

Правило говорить, що якщо функції   і   задовольняють такі умови:

1.  або  ;

2. ;

3.  в проколотому околі  ;

4. Якщо   і   — диференційовані в проколотому околі  ,

то існує  . 

Доведення Відношення нескінченно малих

Доведемо теорему для випадку, коли границі функцій дорівнюють нулю (т.з. невизначеність вигляду  ).

Оскільки ми розглядаємо функції   і   лише у правому проколотому півоколі точки  , ми можемо неперервним чином їх довизначити в цій точці: нехай  . Візьмемо деякий   з даного півоколу і застосуємо до відрізку   теорему Коші. За цією теоремою отримаємо:

,

але  , тому  .

Далі, записавши визначення границі функції відношення похідних і позначивши останню через  , з отриманої рівності виводимо:

 для скінченної границі і

 для нескінченої,

що є визначенням границі відношення функцій.

Відношення нескінченно великих

Доведемо теорему для невизначеностей вигляду  .

Нехай, для початку, границя відношення похідних скінченна і рівна  . Тоді, при прямуванні   до   справа, це відношення можна записати як  , де   — O(1). Запишемо цю умову:

.

Зафіксуємо   з відрізка   і застосуємо теорему Коші до всіх   з відрізка  :

, що можна привести до такого вигляду:

.

Для  , достатньо близьких до  , вираз має межу першого множника правої частини рівний одиниці (так як   і   — константи, а   і   прямують до безмежності). Значить, цей множник рівний  , де   — нескінченно мала функція при прямуванні   до   справа. Випишемо визначення цього факту, використовуючи те ж значення  , що і в визначенні для  :

.

Отримали, що відношення функцій можна подати у вигляді  , і  . По будь-якому данному   можна знайти таке  , щоб модуль різниці відношення функцій і   був менше  , значить, границя відношення функцій дійсно рівна  .

30. Перетворення невизначеностей виду : [0 ], [00], [ 0], [1 ].

Для розкриття невизначеностей видів   ,   ,   користуються наступним прийомом: знаходять межа (натурального) логарифма висловлювання, що містить дану невизначеність. У результаті вид невизначеності змінюється. Після знаходження межі від нього беруть експоненту.

30. Формула Тейлора. Доведення.

Теорема (Тейлора, 1685-1731, Англія) Нехай функція   в околі точки   має похідні до  -го порядку включно. Якщо   з вказаного околу, то існує точка   з цього околу, для якої має місце формула

де       .

Ця формула називається формулою Тейлора,   - залишковий член.

Доведення. Позначимо

Многочлен   називається многочленом Тейлора функції   в околі точки  .

Тоді залишковий член  .

Отже, нам потрібно довести, що залишковий член   виражається вказаною формулою.

Нехай  . Для довільного   розглянемо функцію

   і    .

Отже,   задовольняє умові теореми Ролля на  . Знайдемо похідну функції  :

або              .

За теоремою Ролля існує   така, що  , тобто

 

або              .

Саме цю формулу залишкового члена найчастіше використовують. Залишковий член у вказаній формі називається залишковим членом у формі Лагранжа. Оскільки  , то залишковий член   можна записати у вигляді

.

Зустрічаються і інші форми залишкового члена формули Тейлора.

Якщо  , то залишковий член   буде нескінченно малою вищого порядку порівняно з  , тобто   при  . Такий запис залишкового члена   формули Тейлора називають зображенням залишкового члена у формі Пеано.