Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от произвольной точки М₀(х₀, у₀, z₀)  до плоскостиАх+Ву+Сz+D=0 равно:

30. Угол между плоскостями.

Под углом между двумя плоскостями понимают один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Рассмотрим две плоскости Q₁ и Q₂ , заданные уравнениями:

Угол φ между нормальными векторами (A₁,B₁,C₁) и (A₂,B₂,C₂) плоскостей Q₁ и Q₂ определяется по формуле:

Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей:

1) если их нормальные векторы коллениарны :

2) , если их нормальные векторы перпендикулярны :

.

Точка пересечения трех плоскостей.

Точка пересечения трех плоскостей, заданных уравнениями:

является решением системы уравнений

 

Три плоскости пересекаются в одной точке, если определитель этой системы не равен нулю.

Определение расстояния от точки до плоскости.

Дана точка M₁(x₁,y₁,z₁) и плоскость Q:

Расстояние от точки М₁до плоскости измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость:

. Скалярное произведение

или в координатной форме

т.к. точка лежит на плоскости, а это значит Тогда

. 

31. Уравнение линии в пространстве. Уравнение прямой, как пересечение двух плоскостей

Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.

                                           

            Общие уравнения прямой в координатной форме:

                                                  

            Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду.

            Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p.

 При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.

32. Каноническое уравнение прямой и его связь с уравнением прямой, заданной в виде пересечения двух плоскостей.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0, A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0;     

3) точкой M₁(x₁, y₁, z₁), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

.                                        (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

33. Параметрическое уравнение прямой

Прямая в пространстве может быть задана:

точкой M₁(x₁, y₁, z₁), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

.                                        (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

x = x₁ +mt, y = y₁ + nt, z = z₁ + рt.                              (3.5)

Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:

x = mz + a, y = nz + b.                                      (3.6)

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

.

34. Уравнение прямой проходящей через две заданные точки.

Прямая в пространстве может быть задана:

2) двумя своими точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

= ;  

35. Угол между двумя прямыми. Условие перпендикулярности и параллельности двух прямых.

Угол между двумя прямыми

Рассмотрим плоскость с декартовой системой координат. И рассмотрим прямую l лежащую на этой плоскости.

Пор. Углом наклона прямой l к оси абсцисс называется угол, на который надо повернуть ось Х чтобы она стала параллельной данной прямой. Этот угол называется положительным, если поворот осуществляется против часовой стрелки.

 

Опр. Углом наклона междупрямымиl1 и l2 называется угол между направляющими вкторами этих прямых.

Найдем выражение угла через cosφ.

Даны вектора m1 (-B1; A1) и m2 (-B2жA2)

Тогда угол можно найти из ab=/a/*/b/*cosφ

 

Пусть прямые заданы с помощью угловых коэф.

L1: y=kx+b1

L2: y=k2x+b2

tg=tg(2-1)=(k2-k1)/(1+k2*k1)

Следует обратить внимание на то, что в числителе дроби из углового коэффициента второй прямой вычитается угловой коэффициент первой прямой.

Если уравнения прямой заданы в общем виде

A₁x + B₁y + C₁ = 0,         

A₂x + B₂y + C₂ = 0,     (6)

угол между ними определяется по формуле

     (7)

4. Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.     (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

     (9)

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

     (10)

36. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.