3.4. Исследование возможности увеличения оптимального значения целевой функции.

Целевая функция возрастает при параллельном переносе границ ОДР, прилегающих к оптимальному решению в сторону от начала координат.

При этом b₂ (прямая CD) будет возрастать пока т. C не совпадёт с т. D, а b₅ (прямая BC) - пока точки B и C не приблизятся друг к другу максимально.

b_2max=9.25 b_5max=40.73

Рисунок 7.ОДР при b₂=max

Вывод: для увеличения прибыли в данной задаче необходимо увеличить ресурс b₂ (глянец) с 8 до 9 единиц, а ресурс b₅ (чернила) с 38 до 40 единицы.

4.Решение задачи лп симплекс-методом.

Симплексный метод основан на идее перехода от одного базисного решения в вершине многоугольника допустимых решений к другому базисному решению, более близкому к оптимальному.

Выразим базисные переменные через свободные:

y₁=12-x₁

y₂=8-x₂

y₃=51-3x₁-3x₂

y₄=20+ 2x₂ -2x₁

y₅=38- 4x₂ -x₁

F=-3x₁-2x₂.

Каждая строка симплекс – таблицы соответствует базисной переменной, а каждому столбцу соответствует свободная переменная x_j и выделен столбец свободных членов (правых частей ограничений) b_i . Внизу помещена строка целевой функции F.

Решение задачи симплекс методом.

Таблица 1.

	-y3	-y1	B
x2	0.33	-1	5
y2	-0.33	1	3
y4	0.67	-4	6
x1	0	1	12
y5	-1.3	3	6
Max	0.67	1	46

1. Если в столбце над отрицательным коэффициентом целевой функции есть положительные элементы, то необходимо произвести замену соответствующей свободной переменной на базисную. Далее выделяется разрешающий элемент (РЭ) – элемент выбранного столбца, который имеет одинаковый знак со свободным членом, и для которого симплексное соотношение минимально. С этим РЭ осуществляется шаг преобразования таблицы.

2. РЭ заменяется на обратную величину.

3. Все остальные элементы разрешающей строки делятся на РЭ.

4. Все элементы разрешающего столбца делятся на РЭ и меняют знак на противоположный.

5. Все остальные элементы, не принадлежащие разрешающим строке и столбцу, вычисляются по правилу "прямоугольника": мысленно выделяется прямоугольник, в котором подлежащий пересчету элемент и РЭ образуют одну из диагоналей. Из произведения этих элементов вычитается произведение элементов, образующих другую диагональ прямоугольника, а результат делится на РЭ.

В табл. 1 оптимальное решение достигнуто (F_max=46)

5. Двойственность задач лп

Если существует исходная задача нахождения максимума ЦФ, то существует и двойственная к ней задача нахождения минимума функционала Ф. Правила перехода к двойственной задаче:

1. j-й столбец, составленный из коэффициентов ограничения исходной задачи, совпадает с j-й строкой, составленной из коэффициентов ограничений двойственной задачи.

2. Строка, составленная из коэффициентов ЦФ, совпадает со столбцом, составленным из констант правых частей ограничений двойственной модели.

3. Столбец, составленный из констант правых частей ограничений исходной модели, совпадает со строкой, составленной из коэффициентов ЦФ двойственной задачи.

4. Направление знаков неравенства в исходной модели противоположно направлению знаков неравенства в двойственной задаче.

5. Требование максимизации в исходной задаче противоположно направлению знаков неравенства в двойственной модели.

Задача имеет вид:

1y₁ + 0y₂ + 3y₃ + 2y₄ + 1y₅ >=3

0y₁ + 1y₂ + 3y₃ - 2y₄ + 4y₅>=2

Ф=12y₁ + 8y₂ + 51y₃ + 20y₄ + 38y₅  min

Решение двойственной задачи найдем из последней симплекс-таблицы прямой задачи. Это решение имеет вид, представленный в таблице:

	-y1	-y2	-x2	-x4	-x5	B
x1	-1	1	-1	4	-3	1
x3	0	-0.33	0.33	-0.67	1.3	0.67
fmin	12	5	3	6	6	-46

Попробуем изменить одну из переменных:

X1≤12  X1≤20

	-y4	-y3	B
y1	-0.25	-0.17	6.5
y2	0.25	-0.17	3.5
x2	-0.25	0.17	13.5
x1	0.25	0.17	10.5
y5	0.75	-0.83	10.5
Max	0.25	0.83	47.5

Таким образом, значение Fmax увеличилось 46  47.5

Изменим свободную переменную

X2≤8  X2≤9

	-y3	-y1	B
x2	0.33	-1	5
y2	-0.33	1	4
y4	0.67	-4	6
x1	0	1	12
y5	-1.3	3	6
Max	0.67	1	46

Значение Fmax в этом случае не изменилось.

Таким образом, положительную, отличную от нуля двойственную оценку имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются при оптимальном решении задачи, поэтому двойственные оценки определяют дефицитность используемых ресурсов.

Левые части ограничений двойственной задачи определяют оценку сырья или ресурса, затраченного на производство единицы каждого вида продукции. Эта оценка должна быть не меньше цены единицы продукции соответствующего вида.