3. Некоторые интегралы, берущиеся без подстановок.

A. .

Выпишем подкоренное выражение и выделим полный квадрат.

.

Обозначим , тогда . Подставим в интеграл и получим:

.

Если , то это табличный интеграл, ответом будет логарифм.

Если , то , тогда последний интеграл можно преобразовать к виду . Полученный интеграл является табличным, ответом будет арксинус.

Пример.

.

B. .

Проведя аналогичные пункту A рассуждения и обозначив

,

получим, что

Последний интеграл является табличным (доказано в предыдущем пункте).

Пример.

.

C. .

Рассмотрим обратную подстановку , тогда

.

,

где выражаются через . Полученный интеграл, как уже было доказано, сводится к табличным.

Пример.

.

D. .

С помощью метода интегрирования по частям данный интеграл можно свести к самому себе.

.

Последний интеграл сводится к табличным (это случай B), в итоге получаем

,

где - все слагаемые, которые могут появиться. Следовательно,

.

Пример.

вычислим отдельно последний интеграл:

;

.

В итоге получилось уравнение относительно данного интеграла, из которого получаем:

.

4. Интегралы от дифференциальных биномов.

.

Дифференциальным биномом или биномиальным дифференциалом называется выражение вида .

Теорема. Интегралы , сводятся к интегралам от дробно-рациональных функций только в трех случаях:

1. . Подстановка наименьшее общее кратное знаменателей дробей, изображающих и .

2. . Подстановка знаменатель дроби, изображающей .

3. . Подстановка знаменатель дроби, изображающей .

Примеры.

1)

.

2)

.

3)

.

7. Интегрирование некоторых тригонометрических функций

A. .

Теорема. Используя следующие подстановки, данный интеграл можно свести к интегралу от дробно-рациональной функции.

1. Если - нечетное, то подстановка .

2. Если - нечетное, то подстановка .

3. Если - четные, то подстановка .

Если , то, используя тригонометрические тождества, интеграл можно преобразовать к сумме (разности) простейших интегралов.

Примеры.

1)

.

2)

.

3)

При замене и используются следующие формулы:

.

.

4)

.

B.

Данные интегралы преобразуются к простым с помощью тригонометрических формул.

Пример. .

C. .

Рассмотрим интеграл

.

Повторяя этот прием несколько раз, мы постепенно уменьшаем показатель у тангенса. В результате, на каком-то шагу:

1. если - четное, то получим ;

2. если - нечетное, то получим .

Пример.

.

D. Универсальная подстановка.

Теорема. Интеграл подстановкой сводится к интегралу от дробно-рациональной функции.

Пусть , выразим через :

,

.

Пример.

.

8. Тригонометрические подстановки для уничтожения иррациональностей

Пусть есть .

Из подкоренного выражения выделим полный квадрат

.

Если , то можно преобразовать к виду ;

если , то можно преобразовать к виду ;если , то можно преобразовать к виду .

Теорема. , подстановкой ;

, подстановкой или ;

подстановкой или сводятся к интегралу от дробно-рациональной функции.

Пример.

.