5. Интегрирование простейших дробей

1. Интегрирование дроби 1-го типа. .

2. Интегрирование дроби 2-го типа. .

3. Интегрирование дроби 3-го типа. По условию , выделим в знаменателе полный квадрат:

т.к. , то это выражение можно обозначить

,

.

4. Интегрирование дроби 4-го типа.

Проведя действия, аналогичные предыдущему пункту, получим:

.

Рассмотрим способ вычисления интеграла . С помощью метода

интегрирования по частям сведем его к интегралу .

.

Полученная формула

называется рекуррентной. Применяя эту формулу к интегралу ,

сведем его к интегралу , продолжая этот процесс, мы придем к .

. Следовательно, интеграл выразится

через сумму дробей и арктангенс. Т.к. можно вычислить, то и

интеграл от дроби 4-го типа будем считать вычисленным.

Пример. Вычислить интеграл

Воспользуемся результатом примера

.

Последний интеграл вычислим отдельно:

.

Следовательно, исходный интеграл

= + .

Пример. Вычислить интеграл

.

Теорема. Интеграл от любой дробно-рациональной функции является элементарной функцией, которая выражается с помощью многочлена, дробно-рациональной функции, логарифма и арктангенса.

6. Интегрирование некоторых иррациональных функций

Определение. Многочленом от двух переменных назовем выражение .

Пример. - многочлен от двух переменных.

Определение. Дробно-рациональной функцией двух переменных называется функция, которая представима в виде частного двух многочленов от двух переменных

.

Свойства дробно-рациональных функций двух переменных:

1. Сумма, разность, произведение, частное двух дробно-рациональных функций есть дробно-рациональная функция.

2. Композиция дробно-рациональных функций есть дробно-рациональная функция.

1. Интегрирование функций, содержащих .

Теорема. Пусть - дробно-рациональная функция своих переменных. Если в сделать замену переменных , то рассматриваемых интеграл сведется к интегралу от дробно-рациональной функции.

Пример. Вычислить интегралы.

1. 

т.к. дробь неправильная, выделим целую часть:

разложим полученную правильную дробь на простейшие:

если , то ; если , то , следовательно, получаем: .

2. 

.

Замечание. Если интегрируемая функция содержит несколько корней

, , … от одной и той же дроби, то все эти корни можно выразить через один корень от той же дроби с показателем , а затем применить теорему.

Пример. Вычислить интеграл.

.

2. Интегралы, содержащие .

Теорема. Пусть - дробно-рациональная функция своих переменных, тогда интеграл соответствующей подстановкой может быть сведен к интегралу от дробно-рациональной функции. Эти подстановки следующие (их называют подстановками Эйлера):

1. ;

2. ;

3. или .

Замечание. Подстановки всегда приводят к цели в теории. На практике их почти не используют, т.к. они приводят к большим вычислениям.

Пример. Вычислить интегралы.

1.

разложим правильную дробь на простейшие

если , то ; если , то , следовательно, получаем:

.

2.

.