2.2 Активный полосовой фильтр

Общие положения

Поведение фильтра в частотной области описывается передаточной функцией T(u), модуль которой |t(ω)| при u= jω, рассчитанный в заданной полосе частот, называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ). Так как значения АЧХ фильтра в полосе пропускания близки к единице, а в полосе задерживания намного меньше единицы, то при расчете фильтров часто используется выраженная в децибелах характеристика, обратная АЧХ, называемая затуханием фильтра а(ω):

. (2.1)

Передаточная функция фильтра T(u) представляет собой дробно-рациональную функцию оператора u с вещественными коэффициентами, т.е. отношению полиномов:

, (2.2)

где степень числителя т не превосходит степени знаменателя n.

Расчет фильтров проводится в два этапа. На первом этапе решается задача аппроксимации, т.е. находится передаточная функция T(u) (коэффициенты, либо корни числителя и знаменателя), которая должна удовлетворять следующим требованиям:

• Разность между максимальным и минимальным значениями затухания в полосе частот пропускания Е_п, называемая неравномерностью затухания  _а , не превосходит заданной величины  _з :

, (2.3)

где F - текущая частота.

• Затухание a(F) в полосе задерживания Е_з не меньше заданной величины а_з:

. (2.4)

Полоса частот пропускания полосового фильтра (ПФ) лежит в пределах от нижней граничной F_-1 до верхней граничной F₁ частоты. Полоса частот задерживания находится слева и справа по оси частот от полосы пропускания: от 0 до F_-2 и от F₂ до .

На втором этапе для найденной функции T(u) выбирается схема фильтра и рассчитываются значения ее элементов. Для этого передаточная функция T(u) представляется в виде произведения передаточных функций второго порядка:

, (2.5)

где . (2.6)

Так как передаточная функция каскадно-соединенных звеньев, имеющих нулевое выходное сопротивление, равна произведению передаточных функций отдельных звеньев, то реализация передаточной функции T(u) сводится к реализации звеньев второго порядка и их каскадному соединению.

Для звена ПФ передаточная функция второго порядка имеет вид:

. (2.7)

Реализация фильтров для обработки звуковых сигналов осуществляется активными RC схемами (АRC схемами), что позволяет отказаться от трудоемких в изготовлении и крупногабаритных катушек индуктивностей, необходимых при реализации LC фильтров.

Различают несколько видов фильтров:

• фильтр Баттерворта с максимально плоским затуханием в полосе пропускания;

• фильтр Чебышева с равноволновым затуханием в полосе пропускания;

• фильтр Кауэра - Золотарева (или эллиптический) со всплесками затухания в полосе задерживания,

• фильтры Бесселя, Лежандра и т.д.

Применение того или иного вида фильтра определяется дополнительными требованиями к проектированному узлу в части поведения фазочастотной (ФЧХ) характеристики, сложности изготовления и т.д.

ПФ Баттерворта (20 порядка)
ПФ Чебышева (12 порядка)
ПФ Кауэра (8 порядка)

Рис. 2.2.1. АЧХ ПФ разных видов при одинаковых исходных данных

Методика проектирования ARC ПФ:

1). Исходные данные:

• Е_П = [F_-1, F₁] – полоса пропускания;

• _З – неравномерность затухания в полосе Е_П;

• Е_З=[0, F_-2], [F₂, ) – полосы задерживания;

• а_З – минимальное затухание в полосе Е_З;

• тип фильтра.

2). Проектирование ПФ производится для геометрически симметричных фильтров, удовлетворяющих условию:

. (2.8)

Если условие (2.8) не выполняется, то необходимо симметрировать полосы Е_З, Е_П, т.е. сместить граничную частоту F₂ ближе к F₁ либо F_-1 ближе к F_-2, так, чтобы это условие выполнялось.

3). В пакете программ MC 7 имеется подпрограмма синтеза активных ПФ четырёх типов – Баттерворта (Butterworth), Чебышева (Chebyshev), Кауэра (Elliptic) и Чебышева – инверсный (Inverse Chebyshev). Подпрограмма позволяет:

• По заданным требованиям получить передаточную функцию фильтра T(u) в виде произведения передаточных функций второго порядка;

• По передаточной функции построить теоретическую АЧХ фильтра;

• Получить техническую реализацию фильтра в виде ARC звеньев;

• Провести всесторонние исследования схемы фильтра и её оптимизацию [1, 2].

Задание

1). В программе MC7 войдите в подпрограмму синтеза активных фильтров нажатием кнопки Design и активизацией режима Active Filters. Откройте «закладку» Design и установите:

• Тип (Type) фильтра – полосовой (Bandpass), в окне появится шаблон для технических требований к ПФ;

• Вид фильтра (Response) - по заданию.

Варианты заданий приведены в Табл. 2.2.

2). В окне технических требований (Specifications) в соответствие с заданием установите:

• Форму задания требований Mode 1;

• Начальное усиление в полосе Е_П (Passband Gain), обычно 0 dB;

• Неравномерность затухания в полосе Е_П (Passband Ripple “R”);

• Mинимальное затухание в полосе Е_З (Stopband Atten. “A”);

• Среднюю частоту полосы Е_П (Center Frec. “F_c”), рассчитанную как средняя геометрическая частота . Для относительно узкополосных ПФ её можно рассчитывать как среднюю арифметическую частоту ;

• Ширину полосы пропускания (Passband “PB”), ;

• Ширину полосы частот между полосами задерживания (Stopband “SB”), .

Таблица 2.2

Вари-ант	З , “R” (дБ)	аЗ , “A” (дБ)	ЕП , “PB” (Гц)	F-2 (Гц)	F2 (Гц)	Вид ПФ	Тип схемы
1	0,5	30	9000 - 11000	6000	14000	Чебышев	Sallen-Key
2	1,0	36	9000 - 11000	7000	14000	Кауэр	Sallen-Key
3	3,0	30	9000 - 11000	6000	15000	Баттерворт	Sallen-Key
4	0,5	30	9000 - 11000	6000	15000	Чебышев	Tow-Thomas
5	2,0	30	9000 - 11000	7000	14000	Кауэр	Sallen-Key
6	0,5	40	300 - 3400	100	4000	Чебышев	Sallen-Key
7	1,0	40	300 - 3400	100	4000	Кауэр	Tow-Thomas-2
8	0,5	40	300 - 3400	100	4000	Чебышев	Sallen-Key
9	0,5	40	300 - 3400	100	4000	Кауэр	Fleischer-Tow
10	1,0	40	300 - 3400	100	4000	Чебышев	Tow-Thomas-2

3). Откройте «закладку» Implementation и установите:

• Тип схемы, реализующий передаточную функция отдельных звеньев ПФ второго порядка - вводится по заданию, или уточняется в процессе проектирования; («по умолчанию» программа МС 7 предлагает схему типа Sallen-Key). «Птичка» в окне Same Circuit… означает единый тип схем для всех звеньев ПФ;

• В окне Impedance Scale Factor - множитель «1»;

• В окне Opamp Model… - модель операционных усилителей (ОУ), «по умолчанию» МС 7 предлагает идеальный ОУ $IDEAL;

• В двух окнах Exact поставьте «птички».

4). Нажмите клавишу OK и изучите блочную схему и передаточную функцию T(u) =T(jω) разрабатываемого ПФ (Рис. 2.2.2).

Рис. 2.2.2. Пример блочной схемы и T(u) ПФ 12-го порядка

Передаточная функция 12-го порядка на Рис. 2.2.2 уже представлена в виде произведения шести передаточных функций второго порядка.

5). Войдите в режим анализа AC. Установите нужный диапазон частот и пределы по осям X-Y, проведите анализ. В результате анализа должна быть получена АЧХ функции T(u) на фоне шаблона, отражающего требования к фильтру. Сделайте выводы о соответствии АЧХ функции T(u) требованиям. Нажмите клавишу F3 и вернитесь к блочной схеме.

6). Левой клавишей в строке Help сверните блочную схему и затем разверните появившуюся принципиальную схему. Оцените порядок значений сопротивлений и ёмкостей. Схема может быть реализована, если все R и С находятся в пределах: 10  R  10⁶, 10 p  C  100 n (дайте объяснение этому требованию). Если это требование не выполняется, определите, во сколько раз нужно изменить значения соответствующих R или С. Будьте внимательны: иногда программа МС 7 предлагает значения ёмкостей порядка 1F – это не Фарада, а фемтофарада, то есть 0,001 пикофарады!

7). Характеристики ARC фильтра не изменятся, если значения всех сопротивлений увеличить (уменьшить) в любое число раз и одновременно во столько же раз уменьшить (увеличить) значения всех ёмкостей. Если предыдущий пункт не выполняется, нужно вернуться к пункту 3) и в окне Impedance Scale Factor вместо «1» установить рассчитанный множитель. Затем повторить пункты 5) и 6). Для низкочастотных ARC схем возможен случай, когда пункт 6) не выполняется ни при каких множителях. В этом случае нужно вернуться к пункту 3), выбрать другой тип фильтра и повторить пункты 5) и 6). В самом крайнем случае придётся идти на изменение требований к ПФ.

8). Выведите на экран выбранную схему ПФ. Подключите ко входу схемы генератор гармонических колебаний, войдите в режим анализа AC. Установите нужные пределы анализа для сигнала на выходе dB(v(out)) и проведите анализ. Нажатием клавиши F9 вернитесь в режим AC Analysis Limits, установите курсор на строке dB(v(out)), нажатием клавиши Add продублируйте эту строку. Для новой строки присвойте другой номер и установите пределы анализа: X Range – “F₁,F_-1” , Y Range – “2,-3,1”.

9). Проведите анализ АС. Измерьте максимальную неравномерность затухания в полосе пропускания _max  и минимальное затухание в полосе задерживания a_min . Сравните результаты с ожидаемыми параметрами фильтра. Введите в отчёт схему ПФ с номиналами R и C, предложенными программой МС 7.

10). Введите в схему ближайшие значения резисторов и конденсаторов из ряда Е96 (±1%), проведите анализ АС и измерьте _max  и a_min . Сравните результаты с ожидаемыми параметрами фильтра и с параметрами, полученными в пункте 9).

11). Задайте для всех R и C допуск ±1% (DEV = 1%). Проведите анализ Monte Carlo (число испытаний 100 при нормальном законе распределения). Постройте гистограмму распределения Y_Range в полосе пропускания ПФ.

12). В режиме анализа Transient \ DSP Parameters \ Limits:

• Установите число точек (Number of Points) =8;

• При частоте входного сигнала F_вх = F_с измерьте коэффициент гармоник (К_г) для 2 ^й … 7 ^й гармоники F_вых и общий К_г ;

• Повторите измерения К_г для частот 0,7 F_-1 и 1,5 F₁;

• Определите, к какому классу аналоговых устройств (линейным или нелинейным) можно отнести данное устройство.

12). По всем проведенным исследованиям сделайте выводы.

13). Оформите документы «Схема электрическая принципиальная» (Э3) и «Перечень элементов» (ПЭ3).

14). Разработайте печатную плату [5].