Тема 1.2. Теория двойственности в операционном ана­лизе экономических систем

Лекция 1.2.1. Формальная теория двойственности:

основные понятия, определения, теоремы. Прямая и двойственная задачи, взаимосвязь их решений,

Правила построения

Основные результаты формальной теории двойственности

Каждой задаче линейного программирования можно определенным об­разом сопоставить некоторую другую задачу (линейного программирования), называемую двойственной или сопряженной по отношению к исходной или прямой. Дадим определение двойственной задачи по отношению к общей за­даче линейного программирования, состоящей в нахождении максимального значения функции F = с_хх_х+с₂ х₂ x ₁₁₂ 2 n_n х_п при условиях

а_ххх_х+а_Х2х₂ + ... + а_Хпх_п<Ъ_х, а_2Х х_х +a₂₂ х₂ + ... + а_2п х_п <Ъ₂,

a_klx₁+a_k2x₂ + ... + a_knx_n<b_k,

₂ + ... + а_к+и х_п <Ъ_к+Х,

Задача, состоящая в нахождении минимального значения функции

F* = b₁y₁ + b₂y₂ +... + b_my_m при условиях

37

Ут ^

y_i ≥0,i = 1,m,

называется двойственной по отношению к исходной задаче.

Тогда исходная задача и двойственная к ней образуют пару задач, на­зываемую в линейном программировании двойственной парой.

Таким образом, взаимно двойственные задачи могут быть записаны в

виде:

прямая задача

max (с, х) = max с^тх Ах<в х≥ 0.

двойственная задача

min (в, y)= min в^тy

А^ту>с y≥0.

Сравнивая две сформулированные задачи, видим, что двойственная за­дача по отношению к исходной составляется согласно следующим правилам.

1. Целевая функция исходной задачи задается на максимум, а целевая функция двойственной — на минимум.

1. Матрица

2. а_п

а

_и

*1л

222

А=

а₂₁ а

•2л

а

38

составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограниче­ний исходной задачи, и аналогичная матрица

11 21 •" m1

^a12 ^a22 •" ^am2

_K a_ln a_2n ... a_mnJ

в двойственной задаче получаются друг из друга транспонированием (т. е. заменой строк столбцами, а столбцов — строками).

3. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений в системе исходной задачи, а число ограничений в системе двойственной задачи — числу переменных в исходной задаче.

3. Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены из системы ограничений исходной задачи, а правыми частями в соотношениях системы двойственной за­ дачи — коэффициенты при неизвестных в целевой функции исходной задачи.

3. Если переменная xj исходной задачи может принимать только лишь положительные значения, тоj-е условие в системе двойственной зада­ чи является неравенством вида «≥». Если же переменная xj может при­ нимать как положительные, так и отрицательные значения, тоj-е соот­ ношение в системе двойственной задачи представляет собой уравне­ ние. Аналогичные связи имеют место между ограничениями исходной задачи и переменными двойственной задачи. Если ⁱ-ое соотношение в системе исходной задачи — неравенство, то i-я переменная двойствен­ ной задачи _{0 y} i ≥. В противном случае переменная y_i может прини­ мать как положительные, так и отрицательные значения.

Двойственные пары задач обычно подразделяют на симметричные и несимметричные. В симметричной паре двойственных задач ограничения прямой задачи и соотношения двойственной задачи являются неравенствами вида «≤». Таким образом, переменные обеих задач могут принимать только неотрицательные значения.

39

В терминах двух взаимосвязанных задач формулируются основные теоретические результаты. Приведем основные теоремы, составляющие фор­мальную (математическую) часть линейного программирования.

ЛЕММА 1. Двойственная к двойственной задаче в точности совпада­ет с исходной.

ЛЕММА 2. Если xиy соответственно допустимые решения прямой и двойственной задач, то (с, х) ≤(в, у).

ТЕОРЕМА (критерий оптимальности Канторовича). Пусть хиу соответственно допустимые решения прямой и двойственной задач и (с,х) = (в ,у). Тогда хиу являются оптимальными решениями соответст­вующих задач.

ТЕОРЕМА (основная теорема двойственности). Если одна из двух взаимно двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая име­ет оптимальное решение, причем экстремальные значения целевых функций равны. Если одна из двойственных задач не разрешима вследствие неограни­ченности целевой функции на множестве допустимых решений, то система ограничений другой задачи противоречива.

Пример. Составить двойственную задачу по отношению к задаче, со­стоящей в максимизации функции F = 2x₁ + x₂ + 3x₃ при условиях

−5x₃ = 12, 2x₁−x₂+4x₃ = 24, 3x1 + x₂ + x3 = 1 8,

Решение. Число переменных в двойственной задаче равно числу урав­нений в системе ограничений, т. е. трем. Коэффициентами в целевой функ­ции двойственной задачи служат свободные члены системы уравнений огра­ничений, т. е. числа 12, 24, 18. Для данной задачи

40

A =

−1 3

2 −1

3 1

4 1

иA^T =

−1 2 3

3 −1 1

−5 4 1

Целевая функция исходной задачи исследуется на максимум, а система условий содержит только уравнения. Поэтому в двойственной задаче целевая функция исследуется на минимум, а ее переменные могут принимать любые значения, в том числе и отрицательные. Поскольку все три переменные ис­ходной задачи принимают только лишь неотрицательные значения, то в сис­теме условий двойственной задачи должны быть три неравенства вида «≥». Следовательно, для сформулированной исходной задачи двойственная задача такова: найти минимум функции F* = 12y₁ + 24y₂ +18y₃ ^пр^и условиях

−y₁+2y₂+3y₃≥2,

−5_y1+4y₂+y₃≥3.

Составление и анализ двойственных задач для других типов линейных моделей исследования операций

Формальное составление двойственных к линейным задачам исследо­вания операций обычно не вызывает трудностей, за исключением транспорт­ной задачи и ее модификаций. Рассмотрим частный случай задачи, когда

В этих условиях задача имеет вид:

(1.19)

41

т

хij≥0, i = 1,m; j = 1,n.

Рассмотрим построение двойственной задачи. Возьмем для простоты т = 2, n = 3 (два пункта производства, три пункта потребления). Тогда имеем:

Си Ли

с13х13

Л1 1 "Т" Л1 л "Т" Xi о — @л Лл1 "Т" Ллл ~Г лло — (Л'у

(1.19^′)

Л

1 Л ~Г ЛЛЛ

ij≥0, i = 1,2;j = 1,3.

Введем векторы сих. Компонентами вектора с будут значения мат­рицы перевозок [c_ij], компонентами вектора х — значения неизвестных хц , для всех j = 1,n; i = 1,m. Получим:

-г

С ⁼ (^с11 , ^с12 , ^с13 , ^с21 , ^с22 , ^с23 ) ;

^{Х =} (х₁1,х₁₂,х₁₃,х21,х22,х23).

Запишем задачу, причем каждой компоненте вектора с присвоим зна­чение ci с номером компоненты (c1 = c₁₁,…, c6 = c23), каждой компоненте век­тора х — значение х_i с номером компоненты (x1 = x₁₁ , …, x6 = x23), получим:

+ с2х2 + с3х3 + с4х4+ с5х5+ с6х6 → min,

JC1+JC2

"I"

(1.20)

42

= в₂,

Записанная выше задача является задачей линейного программирова­ния в канонической форме. В соответствие с правилом построения двойст­венных задач, двойственная к ней задача будет записана следующим обра­зом:

+ в₃ х₅ →> max У1+у₃<с_ъ y1 + y₄ ≤ c₂, yi+y₅<c₃,

У2+УЗ<С₄, (1.21)

y₂ + y₄≤c₅,

yi не ограничен в знаке. Введем обозначения

y1 = -u1;y₂ = -u₂; y3 =v1; y 4 =v₂; y 5 =v₃

и вернемся от номера компоненты вектора с к значению Задачу (1.21) запишем в виде

v ;uj_i м. не ограничены в знаке.

43

Экономический смысл оптимальных двойственных оценок v_j, щ легко определить из равенства оптимальных значений целевых функций прямой и двойственной задач. Здесь v_j — оценка потребителя, а щ — поставщика:

т

Если оценки потребителей у, строго положительны, то местоположе­ние этого потребителя выгодно с точки зрения транспортных затрат, выгодно для подвоза продукции. При увеличении потребности такого потребителя на малую единицу общий объем перевозки увеличивается и минимальные из­держки возрастают на vj*. Если оценка ui*>0, то продукцию удобно достав­лять потребителю, и если объем производства в этом пункте увеличится на малую единицу, то потребителям выгоднее сократить заказы у других и уве­личить их у i-го поставщика, при этом общие транспортные затраты снизятся на величину щ .

Поскольку рассматриваемая модель является транспортной моделью закрытого типа, то, значит, изменение правых частей задачи должны компен­сировать друг друга. Из равенства значений целевых функций прямой и двойственной задач для оптимальных решений следует, что если увеличится выпуск в i-м пункте на малую единицу и увеличится потребность вj-м пунк­те на ту же единицу (так как модель закрытая), то оптимальные затраты уве­личатся на величину АС = v_j* - щ . Если в оптимальном плане х_ij > О, (т. е. прямой маршрут (i, j) — из i пункта в j, существовал в оптимальном реше­нии), то по этому маршруту добавляется перевозка единицы продукции

ΔС*= v/ - ui* < Су в силу условий двойственной задачи.

Если перевозка (i, j) не входила в оптимальный план, то

ΔС*= v/ - ui* < Су

и переброска малой единицы произойдет по окружному, но более дешевому пути.

Таким образом, в отдельности каждая двойственная оценка оптималь­ного решения не имеет определенного экономического смысла, экономиче-

44

ский смысл оценки эффективности маршрута имеет лишь разность опти­мальных оценок ΔС*= v/ - ui*, где ΔС — дополнительные затраты на пере­возку дополнительной малой единицы в условиях оптимального плана пере­возок.

45