Транспортной задачи

Для определения оптимального плана транспортной задачи разработа­но несколько методов. Однако наиболее часто используется метод потенциа­лов.

Метод потенциалов

Общий принцип определения оптимального плана транспортной задачи методом потенциалов аналогичен принципу решения задачи линейного про­граммирования симплексным методом, а именно сначала находят опорный план транспортной задачи, а затем его последовательно улучшают до полу­чения оптимального плана.

Для определения опорного плана транспортной задачи будем пользо­ваться одним из методов, изложенных ранее. Эти методы гарантируют полу­чение занятых в исходном плане п+т-1 клеток, причем в некоторых из них могут стоять нули. Построенный план следует проверить на оптимальность.

* , *.

ТЕОРЕМА. Если для некоторого опорного плана X = (xi

(i = 1,m j = 1,n) транспортной задачи существуют такие n+m чисел α₁,α₂,...,α_m,β₁,β₂,...,β_n,что

a_i+P_j=c_ijnpux*_j>0 (2.21)

и

αi+βj≤cij при jc*. =0 (2.22)

д ля всех i = 1,m и j = 1,n, то X = (xij*) — оптимальный план транспортной задачи.

Ч исла α_iи βj, (i = 1,m j=1, n) называются потенциалами, соответствен­но пунктов назначения и пунктов потребления.

109

Сформулированная теорема позволяет построить алгоритм нахождения решения транспортной задачи. Он состоит в следующем. Пусть одним из рассмотренных выше методов найден опорный план транспортной задачи. Для каждого из пунктов отправления и назначения определяют потенциалы α_i и β_j (i = 1,m j = 1,n). Эти числа находят из системы уравнений

α_i+β_j=c_ij, (2.23)

где Су — тарифы, стоящие в заполненных клетках таблицы условий транс­портной задачи.

Так как число заполненных клеток равно п + т - 1, то система (2.23) с п+m неизвестными содержит п + т - 1 уравнений. Поскольку число неиз­вестных превышает на единицу число уравнений, одно из неизвестных мож­но положить равным произвольному числу, например 0_α 1 =, и найти после­довательно из уравнений (2.23) значения остальных неизвестных. Для иссле­дования плана на оптимальность для каждой свободной клетки проверяется условие α_i + βj ≤ c_ij. Если хотя бы одна свободная клетка не удовлетворяет

данному условию, то опорный план не будет оптимальным, его можно улуч­шить за счет загрузки этой клетки. Если таких клеток несколько, то наиболее перспективна для загрузки клетка, для которой разность (платеж) между та­рифом клетки и суммой потенциалов наименьшая, т. е.

Экономически платеж показывает, на сколько денежных единиц уменьшатся транспортные издержки от загрузки данной клетки единицей груза.

Если для всех свободных клеток чисела _0γ > 0, то опорный план пере­возок является оптимальным.

Если для опорного плана перевозок указанное условие оптимальности не выполняется, то за счет загрузки свободной клетки с отрицательным пла­тежом план перевозок улучшается. Для наиболее перспективной свободной клетки строится замкнутый цикл с вершинами в загруженных клетках. Для

ПО

этого рассматривают все свободные клетки, для которых у_г < 0 и среди дан­ных чисел выбирают наименьшее. Клетку, которой это число соответствует, следует заполнить, она далее становится вершиной цикла. Вершинам этого цикла условно приписываются знаки: свободной клетке — плюс, следующей по часовой или против часовой стрелки занятой клетке — минус, следую­щей — снова плюс и т. д. Из поставок в клетках цикла с «отрицательными» вершинами выбирается наименьшее количество груза, которое и перемеща­ется по клеткам этого цикла: прибавляется к поставкам в положительных вершинах и вычитается из поставок в отрицательных, в результате чего ба­ланс цикла не нарушится.

Циклом в таблице условий транспортной задачи называется ломаная линия, вершины которой расположены в занятых клетках таблицы, а зве­нья — вдоль строк и столбцов, причем в каждой вершине цикла встречается ровно два звена, одно из которых находится в строке, а другое — в столбце.

Если ломаная линия, образующая цикл, пересекается, то точки самопе­ресечения не являются вершинами. Примеры некоторых циклов показаны на рис. 2.5.

						—1__	id—

Рис. 2.5. Примеры построения циклов в транспортной задаче

При правильном построении опорного плана для любой свободной клетки можно построить лишь один цикл.

В результате указанных выше перемещений грузов в пределах клеток, связанных циклом с данной свободной клеткой, определяют новый опорный план транспортной задачи.

Описанный выше переход от одного опорного плана транспортной за­дачи к другому называется сдвигом по циклу пересчета.

111

Следует отметить, что при сдвиге по циклу пересчета число занятых клеток остается неизменным, а именно остается равным п + т - 1. При этом если в минусовых клетках имеется два (или более) одинаковых числа xij, то освобождают лишь одну из таких клеток, а остальные оставляют занятыми (с нулевыми поставками).

Новый опорный план транспортной задачи проверяют на оптималь­ность. Для этого определяют потенциалы пунктов отправления и назначения и находят числа уу для всех свободных клеток. Если среди этих чисел не

окажется отрицательных, это свидетельствует о получении оптимального плана. Если же отрицательные числа имеются, то следует перейти к новому опорному плану. В результате итерационного процесса после конечного чис­ла шагов получают оптимальный план задачи.

Из изложенного следует, что процесс нахождения решения транспорт­ной задачи методом потенциалов включает такие этапы:

1. Находят опорный план. При этом число заполненных клеток должно быть равным п + т - 1.

1. Находят потенциалы βj и α_i, соответственно, пунктов назначения и

отправления.

3. Для каждой свободной клетки определяют число у у. Если среди чи­ сел γ у нет отрицательных, то получен оптимальный план транс­ портной задачи; если же они имеются, то переходят к новому опор­ ному плану.

3. Среди отрицательных чисел у у выбирают наименьшее, строят для

свободной клетки, которой оно соответствует, цикл пересчета и производят сдвиг по циклу пересчета.

5. Полученный опорный план проверяют на оптимальность, т. е. снова повторяют все действия, начиная с этапа 2.

В заключение отметим, что при определении опорного плана или в процессе решения задачи может быть получен вырожденный опорный план. Чтобы избежать в этом случае зацикливания, следует соответствующие ну­левые элементы опорного плана заменить сколь угодно малым положитель-

112

ным числом ε и решать задачу как невырожденную. В оптимальном плане такой задачи необходимо считать ε равным нулю.

Пример. В трех хранилищах горючего ежедневно хранится 50, 30 и 10т бензина соответственно. Этот бензин ежедневно получают четыре заправочные станции в количествах, соответственно равных 30, 30, 10 и 20 т. Стоимость перевозки одной тонны бензина из хранилищ к заправоч­ным станциям задаётся матрицей С:

'[ 2 4 1

С =

2. 3 15

2. 2 4 4

2. Составить такой план перевозок бензина, при котором общая стоимость перевозок будет наименьшей.

Решение. Построим таблицу транспортной задачи.

Таблица 2.20

Пункты отправления	Пункты назначения								Запасы
			B2		B3		B4
Ах	30	1	90	2		4		1	50
A2		2	10	3	10	1	10	5	30
Аз		3		2		4	10	4	10
							1W
Потребности	30		30		10		20		90

Сначала, используя метод северо-западного угла, находим опорный план задачи. Этот план записан в табл. 2.20. Найденный опорный план про­веряем на оптимальность. В связи с этим находим потенциалы пунктов от­правления и назначения.

113

Для определения потенциалов получаем систему

«!+Д=1, а₁+Р₂=2, a₂+j3₂=3, a₂+j3₃=\, a₂+j3₄=5,

α₃+β₄=4,

содержащую шесть уравнений с семью неизвестными. Полагая 0_α 1 =, нахо­дим:

Д =1, 2β₂ = , 1α₂=, р_ъ =0, р_А =4, 0α3=.

Для каждой свободной клетки вычисляем число γ_ij =c_ij −(α_i + βj):

7i3⁼⁴> 7i4=-3, 7₂i=°> 7з1=²' 7з2=°> 7зз=⁴- ^{Так как с}Р^еД^{и чисел} Гц имеется отрицательное {у_и =-3), то построенный план перевозок не являет­ся оптимальным и надо перейти к новому опорному плану.

Таблица 2.21

Пункты	Пункты назначения
отправления	Вх		B2		Вз		ВА
Ах	30	1	20	2		4		1	50	0
			i—				>
A2		2	104	3	10	1			30	1
			lut_ _
Аз		3		2		4	10	4	10	0
Потребности	30		30		10		20		90
fij	1		2		0		4

Для свободной клетки с 3_γ14=− строим цикл пересчета (табл. 2.21) и производим сдвиг по этому циклу. Наименьшее из чисел в минусовых клет­ках равно 10 = min(20, 10). Клетка, в которой находится это число, становится свободной в новой табл. 2.22. Другие числа в табл. 2.22 получаются так: к числу 10, стоящему в плюсовой клетке табл. 2.21, добавим 10 и вычтем 10 из числа 20, находящегося в минусовой клетке табл. 2.21. Клетка на пересе-

114

чении строки А₂ и столбца В₄ становится свободной. После этих преобразо­ваний получаем новый опорный план (табл. 2.22).

Этот план проверяем на оптимальность. Снова находим потенциалы пунктов отправления и назначения. Для этого составляем следующую систе­му уравнений:

α₁+β₁=1, α₁+β₂=2, α₁+β₄=1, α₂+β₂=3, α₂+β₃=1, α₃+β₄=4. Полагаем α₁ = 0, получаем

Д =β₄ = 1, β₂ =2, β₃ =0, α₃ =3, а₂ =. Для каждой свободной клетки вычисляем число у у; имеем:

У\Ъ ⁼⁴> 721=0> /24=3, Гп=~¹> /32="3, 733 ⁼¹-

Таблица 2.22

Пункты	Пункты назначения									ОС
отправления	Вх		B2		B3		ВА
Ах	30	1	10	2		4	10	1	50	0
A2		2	20	3	10	1		5	30	1
Аз		3		2		4	10	4	10	3
Потребности	30		30		10		20		90
fij	1		2		0		1

Таким образом, видим, что данный план перевозок не является опти­мальным. Поэтому переходим к новому опорному плану (табл. 2.23).

Сравнивая значения α_i + βj новых потенциалов, отвечающих свобод­ным клеткам табл. 2.23, с соответствующими числами сij, видим, что указан­ные значения сумм потенциалов для всех свободных клеток не превосходят соответствующих чисел сij.

115

Таблица 2.23

Пункты	Пункты назначения								Запасы	а
отправления	Вх		B2		Вз		ВА
Ах	30	1		2		4	20	1	50	0
A2		2	20	3	10	1	8	5	30	0
Аз		3	10	2		4		4	10	1
Потребности	30		30		10		20		90
βj	1		3		1		1

Следовательно, полученный план

'30 0 0 20^

0 20 10 0 _v0 10 0 О,

является оптимальным.

При данном плане стоимость перевозок

F=1·30 +1·20 + 3·20+1· 10 + 2·10= 140.

116