Метод искусственного базиса

Предыдущий алгоритм симплекс-метода рассматривался для случаев, когда в системе присутствует полный единичный базис, которому соответст­вует допустимое (а, значит, и опорное) решение. Однако так бывает далеко не всегда. Для того чтобы использовать симплекс-метод для решения задачи в этих случаях, приходится прибегать к приему, который называется введе­нием искусственного базиса. Суть его заключается в том, что в ограничения задачи искусственно вводят несколько новых переменных с таким расчетом, чтобы полученная новая система уравнений-ограничений уже имела полный единичный базис, которому соответствует опорное решение новой системы ограничений. Затем решают задачу ЛП с новыми ограничениями и со специ­ально построенной целевой функцией (в дальнейшем будем называть пред­ложенную задачу расширенной по отношению к исходной).

Пусть требуется найти максимум функции

F = c1x1 + c₂x₂+ …_+c n x_n (1.13)

при условиях:

31

(1.14)

(1.15)

где в_i ≥ 0 (i = 1,m), m < n и среди векторов

«

12

а

\п

«

21

«

22

Р

а

2n

\^amnj

нет m единичных.

Составим к исходной задаче расширенную: требуется определить мак­симальное значение функции

F = с\Х\ + с₂х₂+...+ с_пх_п -Mxn+i- ... -Мх_п+т (1-16)

при условии

а_п х_х+а_п

х_п+х_п+1 =в₁₅

(1.17)

х_п+х_п+т = в_т,

x_j≥0 (j = 1,n

(1.18)

где М— некоторое достаточно большое положительное число.

Переменные х_n+₁ ,…, x_n+m называются искусственными (как и векторы Рn+1 ,…, Рn+m). Количество искусственных векторов может быть от 1 до m в зависимости от наличия в исходной задаче единичных векторов.

Расширенная задача имеет опорный план x^t = (0; 0;..; 0; ;; _{в в 1} m), в ко­тором n-m нулевых элементов, поэтому ее решение может быть найдено симплекс-методом. В процессе решения искусственные переменные выво­дятся из базиса и, следовательно, принимают нулевые значения в оптималь-

32

ном плане. Значение целевой функции расширенной задачи в оптимальном плане (т.е. при нулевых значениях искусственных переменных) совпадает со значением целевой функции исходной задачи (1.13)—(1.15).

При опорном плане х^т = (0; 0;...; 0; ,..., в_в1m ) расширенной задачи значение

т

линейной формы есть F₀ = −M∑в_i, а значения оценок

i=1

т

i=1

Таким образом, F₀ и разности zj - cj состоят из двух частей, одна из ко­торых зависит от М.

В процессе решения расширенной задачи составляют симплекс-таблицу, в которой после обычной (m+1)-й строки оценок, где записываются слагаемые, не содержащие М, помещают (m+2)-ю строку, где записывают ко­эффициенты при М.

При переходе от одного опорного плана к другому в базис вводят век­тор, соответствующий наибольшему по абсолютной величине отрицательно­му числу (m+2)-й строки. Искусственный вектор, исключенный из базиса в результате некоторой итерации, в дальнейшем не имеет смысла вводить ни в один из последующих базисов, и преобразования столбцов этого вектора из­лишни. Пересчет симплекс-таблицы при переходе от одного опорного плана к другому производят по общим правилам симплексного метода по (m+2)-й строке до тех пор, пока:

а) все искусственные вектора не будут исключены из базиса. После этого определение оптимального плана продолжают по (m+1)-й строке;

б) не все искусственные вектора исключены из базиса, но при этом в (m+2)-й строке нет больше отрицательных значений.

Тогда, если элемент, стоящий в (m+2)-й строке столбца P0, отрицате­лен, то задача не имеет решения; если он равен нулю, то найденный опорный план исходной задачи является вырожденным и базис содержит, по крайней мере, один из векторов искусственного базиса.

33

Пример. Найти решение задачи методом искусственного базиса

F = х1 + 4 х₂ + х₃ —→ max;

{Xj — Х2 + Xj — о, 2xj - 5х₂ - х₃ - 0;

Решение. Запишем данную задачу в векторной форме:

где Р₁ =

В базисе должны присутствовать два единичных вектора, однако среди векторов Р1, Р₂, Р3 нет единичных. Поэтому в ограничения задачи добавляют искусственные переменные х4 и х₅ (координаты векторов Р₄ и Р₅, соответст­венно, равны и

^W

Составляем целевую функцию расширенной задачи, куда переменные х₄ и х₅ войдут с коэффициентом (-М).

F = х1 + 4 х₂ + х3 - Мх₄ - Мх₅ → max, а ограничения преобразуются так:

jcj − 5x₂ − х₃ + х₅ = 0^,

Составим симплекс-таблицу для решения (табл. 1.4).

В первой части таблицы среди оценок (m+2)-й строки всего одна отри­цательная — в столбце Р1. Значит, в следующий базис войдет вектор Р1, а

вектор Р₅ будет выведен (так как min —;— = 0 ).

"'^> v а *.)

34

Таблица 1.4

i	Базис	Сбаз	Л)	1	4	1	-M	-M
				P1	P2	Ръ	Ра	P5
1	P4	-M	3	1	-1	1	1	0	—
2	P5	-M	0	2	-5	-1	0	1	3
3	—	А/	0	-1	-4	-1	0	0	0
4	—	Ам	-3	-3	0	0	0	0	—
1	P4	-M	3	0	3/2	3/2	1	—	—
2	P1	1	0	1	-5/2	-1/2	0	—	2
3		А/	0	0	-13/2	-3/2	0	—	—
4		Ам	−3	0	-3/2	-3/2	0	—	—
1	P2	4	2	0	1	1	—	—	—
2	P1	1	5	1	0	2	—	—	—
3	—	j1	13	0	0	5	—	—	—

Пересчет элементов таблицы проводят по формулам (1.11)—(1.12). Во второй части таблицы среди оценок (m+2)-й строки две одинаковых отрица­тельных оценки в столбцах Р₂ и Р₃. Для введения в следующий базис нужно выбрать вектор Р₂, так как он имеет больший коэффициент в целевой функ-

ции. Вектор Р₂ замени_т вектор Р4, так как шп М*-U-2. поскольку

aki > О ^3/2 5 / 2 −

Щк ⁼ аи = -5/2 <0. В завершающей части таблицы оценка плана на оптималь­ность идет уже по (m+1)-й строке, так как искусственные векторы выведены. В этой строке на данном этапе нет отрицательных оценок, а значение целе­вой функции равно 13. Таким образом, найденный опорный план является оптимальным с координатами х^т* = (5; 2; 0), значение F*max =13.

Решение симплекс-методом и методом искусственного базиса некоторых других типов линейных задач

В предложенных примерах решения задач были использованы линей­ные модели производства, для которых наиболее эффективным методом ре­шения служит симплекс-метод. Однако он может быть применен и для реше-

35

ния задач транспортного типа, для которых существуют другие, более эф­фективные, приемы решения (например, метод потенциалов). Первоначаль­ный опорный план транспортной задачи также может быть найден более простыми способами (например, методом северо-западного угла, методом минимального элемента и др.).

Решение задачи транспортного типа симплекс-методом (либо методом искусственного базиса) более длительно и громоздко, чем решение ее специ­альными методами, но, в принципе, реализуемо.

36