Метод прямого перебора

Данный метод решения применим, когда ЗЛП приведена к канониче­ской форме и число ограничений m меньше числа переменных n.

Если n — количество переменных, m — количество ограничений в зада­че, то количество базисных переменных (не равных нулю) будет равно m, а небазисных (свободные переменные, которые приравниваются нулю) — n-m. В этом случае число возможных вариантов базисных наборов для данной за-

п\

дачи определяется по формуле С^m =n ^! . Далее строится таблица ре-

т\{п-т)\

шения, в которой для каждого базисного набора вычисляют значения базис­ных переменных из ограничений задачи, остальные переменные (небазис­ные) принимают нулевые значения. Для каждого базисного набора перемен­ных вычисляют значения целевой функции / Базисные наборы переменных, у которых при вычислениях получаются _xj < 0, не принимаются к рассмотре­нию, что вытекает из экономического смысла задачи. Затем выбирается сре­ди вычисленных значений функции наибольшее /„ (либо/ш_Ш в зависимости от условий задачи) и по нему восстанавливается набор переменных, который и будет оптимальным планом задачи.

Пример. Решить задачу методом прямого перебора:

f = 3 х1 + 4 х₂ → max х₁ +х₂ 30, + 4х₂ < 84;

х1≥0,х₂≥0.

23

Решение. Приведем задачу к канонической форме записи:

f= 3 х1 + 4 х₂ → max

x_r+x₂+x₃- 30, [x_t + 4x₂ +x₄- 84;

х1 , х2 , х3, х4 ≥ 0.

Отсюда n = 4, m = 2, n - m = 2. Количество возможных базисных набо-

2 4! ров равно С₄ = = 6. Составим табл. 1.2 для решения.

Таблица 1.2

№ базисного набора	Значение переменных				F(x)
	х1	х2	*з	х4
1	0	0	30	84	0
2	0	30	0	-36	—
3	0	21	9	0	84
4	30	0	0	54	90
5	84	0	-54	0	—
6	12	18	0	0	108

Из табл. 1.2 видно, что максимальное значение 108 целевая функция принимает в 6-м наборе, а величина прибыли F(х* ) = 108 руб. достигается

24

Лекция 1.1.4. Симплексный метод и метод искусственного базиса для нахождения оптимального решения линейных задач исследования операций

Симплексный метод решения задачи ЛП основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции возраста­ет (при условии, что данная задача имеет оптимальный план и каждый ее опорный план является невырожденным). Указанный переход возможен, ес­ли известен какой-нибудь исходный опорный план.

Для решения симплекс-методом исходная задача должна быть пред­ставлена в канонической форме записи:

с₂х₂+ ... + с_пх_п^>тах; (1.4)

In п 1*

(1.5)

^X« =^Ьт>

(1.6)

В данной задаче количество ограничений m меньше количества пере-

м енных n; величины щр b_it cj (i = 1,m;j = 1,n) заданы по условию. Задача (1.4)—(1.6) имеет исходный опорный план х^т=(b1; b₂; b3;…_bm; 0;…; 0), где первые m компонент равны координатам вектора-столбца ограничений, а по­следние n-m компонент нулевые.

Задачу (1.4)—(1.6) для решения симплексным методом удобно пред­ставить в векторной форме:

^F = 1L^CJ max (1.7)

x₁P₁+x₂P₂+…+x_nP_n = P₀, (1.8)

x_j≥0 (^j = 1,n), (1.9)

где

25

				'(Г						'в1 ^
0		1						а		в
	; р2-	:	' ■"' т	0	Рт+Х -	•	\-\Рп-	•	;Р°"	Z
						у mm,1 +		V вот/		Л,

Исходный опорный план задачи определяется системой единичных векторов Р\, P1,Р2,…, Р_m, которые образуют базис m-мерного пространства. По­этому каждый из векторов P_m+1, P_m+2, P_m, P0 может быть представлен в виде линейной комбинации векторов данного базиса.

Д алее для каждого j (j = 1, n) вычисляются оценки

(1.10)

Значения Δj позволяют определить, оптимален данный план или нет. Если все Δj ≥ 0, то процесс решения задачи окончен, рассматриваемое опор-

т

ное решение оптимально. Оптимум целевой функции равен Fc m

Если существуют оценки Δj < 0, то среди них выбирают максимальную по модулю (наименьшую отрицательную), в дальнейшем столбец с этой оценкой будет называться направляющим и войдет в базис. Для определения

вектора, выводимого из базиса, вычисляют соотношение λ_i = в i, где k —

индекс направляющего столбца, из найденных значений λi всегда выбирается

( _в \ наименьшее положительное, т. е. min λ_i = min —- для всех а# > 0. Пусть

этот минимум достигается при i = r, тогда из базиса исключается вектор P_r, а на его место встает вектор Pk. Строка с индексом r называется направляю­щей, а элемент, находящийся на пересечении k-го столбца и r-ой строки (a_rk), называется разрешающим.

26

Если в столбце с элементами а& нет положительных, т.е. все a_ir ≤ 0, то целевая функция не ограничена сверху на множестве допустимых планов.

После выделения направляющего столбца и направляющей строки на­ходят новый опорный план и коэффициенты разложения векторов P_j по век­торам нового базиса. Компоненты нового опорного плана вычисляют (по ме­тоду Жордана — Гаусса) следующим образом:

₌ ^-{в_г1а_гк)а_1к при (фг, r_rk/ai_r при , = r,

а коэффициенты разложения векторов по векторам нового базиса, соответст­вующего новому опорному плану, по формулам

^, ₌ ^{1ЧКЧ*К р >}

aairrj_rk/ при i . =

После вычисления всех элементов, соответствующих новому опорному плану, вновь рассчитывают величины _Δj для всехj и делают вывод:

а) если все Δ_j ≥ 0 — план оптимальный;

б) если существует хотя бы одна оценка Δ_j < 0 и для каждого такогоj по крайней мере одно из чисел aij>0, то возможен переход к новому опор­ ному плану, при котором значение целевой функции увеличивается;

в) если существует хотя бы одна оценка Δ_j < 0, но при этом все числа ау< О, то целевая функция не ограничена.

Для удобства решения задачи симплексным методом составляют таб­лицу (табл. 1.2). Первый столбец таблицы («i») означает номер строки; вто­рой («базис») — содержит вектора базиса, записанные в порядке возрастания номера единичной координаты; третий («Сбаз») — коэффициенты целевой функции, соответствующие базисным векторам; четвертый («Р0») — это век­тор-столбец правых частей системы, записанных в том же порядке, что и век­тора базиса; последующие столбцы таблицы («Р1», …, «Р_n») заполняются по матрице условий задачи.

27

Таблица 1.2

i	Базис	^баз	Р0		...	С	...	Сm	Сm+1	...	Сk	...	Сn
				P1	...	Рг	...	Pm	Рщ+\	...	Pk	...	Pn
1	P1	Q	в1	1	...	0	...	0	a1,m+1	...	a1k	...	a1n
2	P2	С2	в2	0	...	0	...	0		...	a2k	...	a2n
;	■	■	■		...		...		■	...	■	...	■
Г	Pr			0	...	1	...	0	ar,m+1	...	ark	...	dm
•	•	•	•		...	•	...	•	'■	...	'■	...	•
т	Рт			0	...	0	...	1	am,m+1	...	amk	...	amn
т+\				0	...	0	...	0	Δm+1	...	Δk	...

Строка m+1 является оценочной строкой, первый ее элементF0 (значе­ние целевой функции) расположен в столбце Р0 и рассчитывается по формуле

m

∑_ii_в. Остальные элементы строки m+1 рассчитывают по формуле

(1.10). После пересчета элементов нового плана заполнение таблицы про­должают до тех пор, пока все Δ_j не станут неотрицательными.

Алгоритм симплекс-метода в виде блок-схемы может быть представлен следующим образом (рис. 1.2).

28

Исходные данные: векторы iVV- Рn С; исходный базис

Вычисление значения целевой функции F0 и оценок Δj (j = 1,...n)

Пересчет координат векторов Р0, Р1, Р2…, Р_n^; оценок и значение F0

П оиск k: Δk = min Δ_j, где Δj<0и

К . Ь_{ r: —r = mini—

ark ^{i a}ik

Нет

Да

Д а

Конец: опорное решение опти­мально

К онец: задача неразрешима

Рис. 1.2. Блок-схема алгоритма симплекс-метода

Пример. Пусть экономико-математическая модель задачи записана:

F = 3 х1 +4 х2→ max;

+ ≤ < 30, [jq+4jt₂<84;'

х1≥0, х₂≥0.

Найти решение задачи симплекс-методом.

Решение. Чтобы воспользоваться алгоритмом симплекс-метода, задачу следует привести к канонической форме, т. е.:

F = 3 х1 + 4 х₂ → max;

++₌ х30, =84;

29

Запишем векторную форму задачи:

x1 P1 + x₂P₂ + … _{+ x} n _Pn = где

U' ^z И' ³ 0' ⁴ 1

Система имеет два ограничения и четыре переменные, в базис исходно­го опорного плана войдут два вектора — это единичные векторы Р₃ и Р4. Со­ставим симплекс-таблицу (табл. 1.3).

Таблица 1.3

i	Базис	Сбаз	Р0	3	4	0	0
				P1	P2	Ръ	Ра
1	Рз	0	30	30	1	1	0	30
2	P4	0	84	84	4	0	1	21
3	А/	—	0	0	-4	0	0	—
1	Рз	0	9	3/4	0	1	-1/4	12
2	P2	4	21	1/4	1	0	1/4	84
3	А/	—	84	-2	0	0	1	—
1	P1	3	12	1	0	4/3	-1/3	—
2	P2	4	18	0	1	-2/3	1/3	—
3	Ау	—	108	0	0	4	2	—

Исходный опорный план имеет две отрицательных оценки: Δ1 = -3 и

«

а в в 84 Δ₂ = —4. Выбираем Δ₂, отсюда k = 2. Ищем minв i = в 4 = — = — = 21

22

(a_i2 > 0), отсюда r = 2. Разрешающий элемент таблицы а_rk = a₂2 ⁼ 4.

Осуществляем пересчет табл. 1.3 по формулам (1.11)—(1.12), получаем новый план, где базисными являются вектора Р3 и Р₂. Значение целевой функции F0 увеличивается с 0 до 84. Оценочная строка табл. 1.3 рассчитыва­ется по формуле (1.10).

30

В новом опорном плане присутствует оценка Δ1= -2, значит, этот план оптимальным не будет.

Поскольку отрицательная оценка одна, то k = 1, а r выбираем:

вв 9 minв i = в1 =9= 12 (аи > 0). Отсюда r =1, разрешающий элемент а11=3/4.

г а_п 1₁ 3/4

Вновь пересчитываем таблицу по формулам (1.11)—(1.12) для нового базиса P1, P₂. Данный опорный план имеет все Δj ≥ 0, следовательно, он оптималь­ный. Выпишем теперь ответ из последней симплекс-таблицы. Так как в бази­се содержатся два элемента P1 и P₂ , то соответствующие им значения x1 и x₂ находим на пересечении строки P1 (P₂) и столбца P₀, т. е. x1 = 12 x₂ = 18. Зна­чение функции находится на пересечения строки Δ_j и столбца P0 , т. е. F* =108.

Ответ: х* = (12; 18), F*_max=108.