Задача о диете

Пусть нам известно содержание необходимых для откорма животных питательных веществ в различных применяемых кормах, а также цена еди­ницы каждого вида корма. Требуется выбрать рацион-набор и количество кормов так, чтобы каждое питательное вещество содержалось в нем в необ­ходимом количестве, а суммарные расходы на этот рацион были минималь­ны.

Математическая модель. Введем обозначения: т — число различных питательных веществ; п — число видов кормов;

ац — количество единиц ⁱ-го питательного вещества, содержащегося в единицеj-го вида кормов;

в_i — минимальная суточная потребность в i-м питательном веществе;

cj — стоимость единицы j-го вида корма;

jc, — количество единицj-го вида корма, используемого в рационе.

Необходимо найти xj, (j=₁,…,n), удовлетворяющие следующим ограни­чениям:

xj ≥ 0 (количество какого-либо корма, содержащегося в рационе, не мо­жет быть отрицательным) j = 1,…, n;

п

∑aijxj ≥в_i, (()i = 1,...,_m ;общее количество i-го питательного вещества

в данном рационе должно быть не ниже заданного), и минимизирующие суммарные затраты на составление оптимального рациона, т. е. найти

Задача о раскрое

На предприятии из листового материала стандартной формы получают заготовки необходимых размеров. При этом остатки материала идут в отхо-

12

ды. Количество отходов зависит от принятых вариантов раскроя. Каждый ва­риант характеризуется количеством заготовок различного вида, выкраивае­мых из листа.

Задача — составить оптимальный план раскроя, т. е. определить, сколько листов скроить по каждому из вариантов, чтобы получить необхо­димое количество заготовок каждого типа при минимальных суммарных от­ходах.

Пусть различных заготовок вида i (i= 1,…,_m ) требуется в количест­ве в_ь и имеется n вариантов раскроя листа, при этом количество загото-вокj-го варианта раскроя равно ау , а отходы равны c_j (j=1,… , _n ).

Математическая модель. Обозначим количество листов, раскраивае­мых по варианту, через xj, xj≥ 0, (j=1,…,_n ). Тогда задача сводится к нахож­дению хj, удовлетворяющих ограничениям

Суммарные отходы должны быть минимальными min

Транспортная задача

Пусть имеется m пунктов с объемами производства, равными a_i (i=₁,…,m), и n пунктов потребления с объемами потребления в_j (j=₁,…,n). Известны величины Су — затраты по перевозке единицы продукта из i-го

п

пункта производства вj-й пункт потребления; если ∑∑_a i ≥в_i (т. е. потреб-

i=i j=i

ление не превышает возможности производства), то задача сводится к нахо­ждению такого плана перевозок, при котором были бы удовлетворены по­требности во всех n пунктах потребления, а суммарные затраты на перевозку были бы минимальны.

Если по условию транспортной задачи потребление равно производст-

т п

ву, т. е. выполняется ^ a_t i = в_i, то задача называется закрытого типа

13

(или задачей с правильным балансом), иначе — открытого (с неправильным балансом).

Математическая модель. Обозначим через ху искомое количество продукта, перевозимое из i-го пункта производства вj-й пункт потребления (план перевозки). Требуется найти такой план перевозки {xij}, (i= ₁,…,m;

j=₁,…,n), чтобы суммарные затраты на транспортировку были минимальны,

т п

т. е. тш^^с^- ■> пр^и условиях:

1) ∑ x_ij ≥ вj ,j=1 ,…, n (в каждый пункт потребления завозится не больше

i=1

требуемого количества продуктов);

п

2) ∑x_ij ≤а_i,i =1,…, n (из каждого пункта производства вывозится не бо-

лее произведенного количества продукта); 3) x_ij≥ 0, i= 1,…,_m,j=1,…, n.