Лекция 2.2.6. Модели принятия решений в условиях неопределенности и риска

Теория игр и её использование в задачах принятия решений

В экономике очень распространенной является ситуация, когда необ­ходимо принять решение в условиях неопределенности, т. е. если две (или более) сторон преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. В качестве примера та­ких конфликтных ситуаций можно привести взаимоотношения между по­ставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием инте­ресов партнеров и стремлением каждого из них принять оптимальное реше­ние. При этом каждому из них приходится считаться не только со своими це­лями, но и с целями партнера и учитывать неизвестные заранее решения, ко­торые эти партнеры будут принимать.

Если имеется несколько конфликтующих сторон (лиц), каждое из кото­рых принимает некоторое решение, определяемое заданным набором пра­вил, и каждому из лиц известно возможное конечное состояние конфликтной ситуации с заранее определенными для каждой из сторон платежами, то го­ворят, что имеет место игра. Задача теории игр состоит в выборе такой ли­нии поведения данного игрока, отклонение от которой может лишь умень­шить его выигрыш.

Ситуация называется конфликтной, если в ней участвуют стороны, интересы которых полностью или частично противоположны.

Игра — это действительный или формальный конфликт, в котором имеются по крайней мере два участника (игрока), каждый из которых стремится к достижению собственных целей.

Допустимые действия каждого из игроков, направленные на дости­жение некоторой цели, называются правилами игры.

Количественная оценка результатов игры называется платежом. Игра называется парной, если в ней участвуют только две стороны.

162

Парная игра называется игрой с нулевой суммой, если сумма плате­жей равна нулю, т. е. если проигрыш одного игрока равен выигрышу второ­го.

Однозначное описание выбора игрока в каждой из возможных ситуа­ций, при которой он должен сделать личный ход, называется стратегией игрока.

Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает игроку максимально возможный средний выигрыш (или, что то же самое, минимально возможный проигрыш).

Пусть имеются два игрока, один из которых может выбрать i-ю страте­гию из m своих возможных стратегий (i=₁,…,m), а второй, не зная выбора первого, выбираетj-ю стратегию из n своих возможных стратегий (j=₁,…,n). В результате первый игрок выигрывает величину aij, а второй проигрывает эту величину.

Из чисел ац составим матрицу:

a11 «12 - «1и a21 «22 - «2и

_ч«л»1 «л»2 •" ^amnj

Матрица А называется платежной (или матрицей игры).

Игру, определяемую матрицей А, которая имеет m строк и n столб­цов, называют игрой размерности m ×n. Строки матрицы А соответству­ют чистым стратегиям первого игрока, а столбцы — чистым стратегиям второго.

Число α = max(min a_ij) называется нижней ценой игры или макси-

i j

мином, а соответствующая ему стратегия (строка) максиминной.

Число β = min(max a ij) называется верхней ценой игры или мини-

3 i ^J

максом, а соответствующая ему стратегия (строка) минимаксной.

163

ТЕОРЕМА 1. Нижняя цена игры никогда не превосходит верхней це­ны игры.

Если а = β = , то w называется ценой игры.

Игра, для которой α = β, называется игрой с седловой точкой.

Пример. Найти седловую точку для платежной матрицы А. Решение. Седловая точка — пара (i_о = 3;j_о = 1), при которой

_w = α = β=2. Заметим, что хотя выигрыш в ситуации (3;3) также равен

она не будет седловой точкой, т. к. этот выигрыш не является максимальным среди выигрышей третьего столбца.

mina

j

A =

_О

1	−3	-2^	−3
0	5	4	0
2		2>	2

> maxmina = 2

i j

„ =254

m inmaxa = 2

Пример. Найти седловую точку для платежной матрицы В.

Решение. Из анализа матрицы выигрышей видно, что α < β, т. е. дан­ная матрица не имеет седловой точки. Если игрок 1 выбирает свою чистую максиминную стратегию i = 2, то игрок 2, выбрав свою минимаксную j = 2, проиграет только 20. В этом случае игроку 1 выгодно выбрать стратегию i= 1, т. е. отклониться от своей чистой максиминной стратегии и выиграть

164

30. Тогда игроку 2 будет выгодно выбрать стратегию j = 1, т. е. отклониться от своей чистой минимаксной стратегии и проиграть 10. В свою очередь иг­рок 1 должен выбрать свою 2-ю стратегию, чтобы выиграть 40, а игрок 2 от­ветит выбором 2-й стратегии и т. д.

mm a..

^J

fio зоЛ ^j→ iol

В = \ >maxmina,. =20

1^40 20 J -> 20j i j ^lJ

l -I

minmaxa =30

j i

Если игра, заданная матрицей, не имеет седловой точки, то для нахож­дения ее решения используются смешанные стратегии.

Вектор, каждая из компонентов которого показывает относитель­ную частоту (вероятность) использования игроком соответствующей чис­той стратегии, называется смешанной стратегией данного игрока.

Из этого определения непосредственно следует, что сумма компонент указанного вектора равна единице, а сами компоненты не отрицательны. Чистая стратегия есть частный случай смешанной стратегии. Действительно, если в смешанной стратегии какая-либо i-я чистая стратегия применяется с вероятностью 1, то все остальные чистые стратегии не применяются. И эта i-я чистая стратегия является частным случаем смешанной стратегии. Для соблюдения секретности каждый игрок применяет свои стратегии независи­мо от выбора другого игрока.

Обозначим смешанную стратегию первого игрока как вектор Х = (x₁,x₂...,x_m), а второго игрока — как вектор )Y = (y₁,y₂...,y_n, где

т

Х;>0 0 = 1,m), yj ≥0 (j = 1,n), причем ∑∑_xi =1. ,yj ⁼¹

165

Средний выигрыш игрока 1 в матричной игре с матрицей А выража­ется в виде математического ожидания его выигрышей

т п

Е (A, x, y) = ∑ ∑^aij^xi yj ^{= xA} y^T.

Первый игрок имеет целью за счёт изменения своих смешанных стра­тегий Х максимально увеличить свой средний выигрыш Е (А, х, y), а вто­рой — за счёт своих смешанных стратегий Y стремится сделать Е (А, х, y) минимальным, т.е. для решения игры необходимо найти такие х и y, при которых достигается верхняя цена игры

Р = minmax Е (А, х, y).

У х

Аналогичной должна быть ситуация и для игрока 2, т. е. нижняя цена игры должна быть

а = maxmin Е (А, х, y).

х у

Подобно играм, имеющим седловые точки в чистых стратегиях, вво­дится следующее определение: оптимальными смешанными стратегиями игроков 1 и 2 называются такие наборы хо, у^о соответственно, которые удов­летворяют равенству

minmax Е (А, х, y) = maxmin Е (А, х,y)=Е (А, хо, у^о) или

у х х у

Величина Е (А, хо ,уо) называется при этом ценой игры и обозначается через w.

хо, у^о называются оптимальными смешанными стратегиями, соот­ветственно, игроков 1 и 2, если они образуют седловую точку:

Е (А, х, уо) ≤ Е (А, хо, уо) ≤ Е (А, хо, у).

166

Оптимальные смешанные стратегии и цена игры называются реше­нием матричной игры.

ТЕОРЕМА 2. Всякая матричная игра с нулевой суммой имеет реше­ние в смешанных стратегиях.

ТЕОРЕМА 3.Для того чтобы число w было ценой игры, а вектора X* и Y* — векторами оптимальных стратегий, необходимо и достаточно вы­полнение следующих неравенств:

т

= 1, n) и ∑a_ijy_i*.≥w (i = 1, m)

Если теорема 2 дает ответ на вопрос о существовании решения игры, то теорема 4 позволяет найти решение для игры 2 × 2, 2 × n, n × 2.

ТЕОРЕМА 4. Если один из игроков применяет оптимальную смешан­ную стратегию, то его выигрыш равен цене игры w вне зависимости от то­го, с какими частотами будет применять второй игрок стратегии, вошед­шие в оптимальную (в том числе и чистые стратегии).

Определение оптимальных стратегий и цены игры и составляет про­цесс нахождения решения игры.