Одноканальные системы массового обслуживания с ограниченной длиной очереди

Одноканальная система массового обслуживания S имеет 1 канал и m мест в очереди. На вход системы поступают заявки, при этом интенсивность входящего потока равна λ. Заявка, попадающая в систему S, начинает обслу­живаться, интенсивность потока обслуживания равна μ. Если канал занят, то вновь пришедшая заявка ставится в очередь ожидания обслуживания заявок. Если все места в очереди заняты, то вновь пришедшая заявка отклоняется. В этом случае СМО имеет m+2 состояние:

50. — система свободна;

50. — канал занят, очереди нет;

50. — канал занят, занято одно место в очереди; ...,

S_m+2 — канал и все места в очереди заняты.

Графически данную СМО можно изобразить так (рис. 2.16).

S0	'к	S1

Sm+1

Рис. 2.16. Размеченный граф состояний одноканальной СМО с ограниченною очередью

156

Финальные вероятности состояний

_£ ^к

> p_k=ρ^kp₀,k=1,2,…_m+1.

\-р Вероятность отказа

Относительная пропускная способность

Абсолютная пропускная способность

_А = А.(\-р^т+1.р₀). Среднее число занятых обслуживанием каналов

Г Р

^=Т77

Среднее число заявок в очереди

Л-р^т(т + \- г=р²—^

Среднее число заявок в системе

z_s=k + r. Среднее время обслуживания системой

z

''=!■

Среднее время ожидания в очереди

~ г

157

Пример. В частном стоматологическом кабинете работает один врач. В приемной этого врача имеется три кресла для ожидания. Подсчи­тать характеристики эффективности данной простейшей одноканальной СМО с тремя местами в очереди при условии, что интенсивность потока заявок равна четырем заявкам в час, а время обслуживания одной заявки — 30 минут. Выяснить, как эти характеристики изменятся, если увеличить число мест в очереди до четырех.

Решение. По условию задачи имеем

[заявки] ~

,t_o6c=30 (мин).

v )

Тогда интенсивность потока обслуживания

1 [заявки] λ

/* = ■=- = * р = _

*обс К час , μ

При m = 3 финальные вероятности будут равны

Зная финальные вероятности, найдем характеристики эффективности системы массового обслуживания:

q ≈ 0.484,

( заявки

А «1.93 _з

^ час )

к ≈ 0.968, ()каналов г ≈ 2.19, ()заявки z « 3.16, ()заявки i₀₄* 0.55, ()час ?_сис*0Л9[час).

При m = 4 финальные вероятности будут равны

158

В этом случае характеристики эффективности СМО будут равны:

q ≈ 0.493,

( заявки ^4 «1.96 _з

V час )

г ≈3.11,()заявки z я 4.09, ()заявки оч≈ 0.78, ()час f_CMC« 1,02. ()час

Из полученных данных следует, что увеличение числа мест в очереди с трех до четырех приводит к незначительному увеличению абсолютной и от­носительной пропускной способности, но при этом происходит некоторое увеличение среднего числа заявок в очереди и в системе в целом, а также со­ответствующих средних времен.

Одноканальные системы массового обслуживания с ожиданием

Одноканальная система массового обслуживания S имеет бесконечную очередь. На вход системы поступают заявки, при этом интенсивность входя­щего потока равна λ. Заявка, попадающая в систему S, начинает обслужи­ваться, интенсивность потока обслуживания равна μ. Если канал занят об­служиванием заявок, вновь пришедшая заявка ставится в очередь. В этом случае СМО имеет бесконечное число состояний:

50. — система свободна;

50. — один канал занят, очереди нет;

50. — канал занят, занято одно место в очереди;

Графически данную СМО можно представить таким образом (рис. 2.17).

	г
S0			S1			S2

И И ц

Рис. 2.17. Размеченный граф состояний одноканальной СМО с бесконечной очередью

159

Финальные вероятности состояний

p0=¹−ρ, pk =ρkp₀ Вероятность отказа

pотк =0.

Относительная пропускная способность

q=1.

Абсолютная пропускная способность

A=λ.

Среднее число занятых обслуживанием каналов

k = ρ. Среднее число заявок в очереди

г=-

\-р Среднее число заявок в системе

k=\ k=l L-P

Среднее время обслуживания системой

,-= р.

^{* Щ-р\}

Среднее время ожидания в очереди

160

Пример. Железнодорожная сортировочная горка, на которую пода­ется простейший поток составов с интенсивностью λ = 2 состава в час, представляет собой одноканальную СМО с неограниченной очередью. Время обслуживания (роспуска) состава на горке имеет показательное распреде­ление со средним значением 7^ = 20 мин. Найти финальные вероятности со­стояний СМО, среднее число составов, связанных с горкой, среднее число со­ставов в очереди, среднее время пребывания состава в СМО, среднее время пребывания состава в очереди.

Решение. По условию задачи имеем

(состава} ~ , ч

X = 2 , ~t_обс = 20 (мин).

\ ч )

Тогда интенсивность потока обслуживания

(} λ 2

Ф инальные вероятности тогда будут равны

А= т • т =т

Зная финальные вероятности, найдем значения среднего числа обслу­живаемых составов, среднего числа составов в очереди и соответствующее время пребывания в очереди и в системе в целом:

р , ч „ 4

z_s=K =

= к = ρ 2,,()состава_r г 4 ()состава

13 − ρ

1,.()час_{t оч}2()час

161