Сфера применимости и предпосылки построения линейных моделей в экономике

Широкое распространение в экономике линейных моделей (или, как еще говорят, линейного программирования) связано, во-первых, с тем, что многие экономические операции с достаточной точностью могут быть опи­саны линейными моделями; во-вторых, за небольшим исключением только для этих моделей разработаны эффективные методы численного решения при приемлемой для практики размерности задачи.

Примерами использования линейных моделей могут служить модели комплексного использования сырья, транспортная, размещения производст­ва, перспективного планирования, развития экономического комплекса, раз­личных ситуаций оперативного управления и т. д. Широко применяются та­кие модели и в связи с необходимостью анализа ситуаций, возникающих в экономике из-за большого числа возможных вариантов функционирования конкретного объекта при использовании различных видов сырья, материалов, технологий и других факторов.

Использование линейных моделей опирается на возможность рассмот­рения плана (вектора управляемых переменных) в расчлененной форме, со­ставленного из элементарных процессов, которые могут протекать с различ­ной краткостью (интенсивностью). Также предполагается, что приращение критерия оптимальности и невязок условий задачи пропорциональны изме­нениям соответствующих управляемых переменных. Что, в частности, озна­чает: увеличение выпуска продукции в некоторое число раз требует увеличе­ния потребления объектом всех других продуктов в то же самое число раз.

9

Для многих задач планирования и управления такие допущения выглядят вполне приемлемыми и позволяют получать хорошие результаты.

Вместе с тем необходимо четко представлять границы линейности по­казателей, включаемых в модель операции. Известно, что существует так на­зываемая условно постоянная часть расходов, не зависящая от количества выпускаемой продукции в определённом диапазоне изменения объемов. При интенсификации процессов могут меняться нормы расходов на единицу вы­пускаемой продукции тех или иных ингредиентов. Эти и ряд других момен­тов приводят к нарушению линейности объектов, выделяя тем не менее дос­таточно обширную сферу применимости линейных моделей в операционном анализе экономических ситуаций.

10

Лекция 1.1.2. Основные типы линейных моделей

в операционном анализе экономики. Постановка задачи и основные определения ЗЛП

В данном разделе приводятся наиболее распространенные типы линей­ных моделей, отражающие различные экономические ситуации. При модели­ровании этих ситуаций предполагается, что справедлива гипотеза о линейной зависимости описываемых показателей.

Задача оптимального планирования производства

Задача возникает при составлении планов выпуска продукции пред­приятием и, значит, имеет важное практическое значение.

Постановка задачи. Пусть номенклатура выпускаемой продукции со­стоит из n наименований. Обозначим через ау затраты i-го вида ресурсов (i = 1,2,…, m) на производство единицы продукцииj-го вида (j =1,2,…,_n ), через в_i— полные объемы имеющихся ресурсов (i =1,2,…,_m ), cj — доход от реализации единицы продукта (j =1,2,…,_n ).

Задача состоит в том, чтобы определить объем производства каждого продукта, который позволит при наличных ресурсах получить максимальный общий доход. Сбыт всей выпущенной продукции обеспечен.

Математическая модель задачи состоит в нахождении такого n-мерного вектора выпуска продукции Х = {хj}, (где jc, ≥ 0 при j = 1, n ), что­бы выполнить неравенства

п

a_ij xj ≤ в_i; xj ≥ 0; i = 1,2,...,m; j = 1,2,...n

и при этом достичь max∑cjxj, т. е. общая прибыль от производства и реа-лизации продукции должна быть максимальной.

11