Лекция 2.2.5. Многоканальные смо: многоканальные и одноканальные системы массового обслуживания

Многоканальная система массового обслуживания S состоит из n кана­лов. На вход системы поступают заявки, при этом интенсивность входящего потока равна λ. Заявка, попадающая в систему S, начинает обслуживаться, интенсивность потока обслуживания равна μ. Если все каналы заняты об­служиванием заявок, вновь пришедшая заявка отклоняется. В этом случае СМО имеет n+1 состояние:

50. — система свободна,

50. — один канал занят,

5₂ — два канала заняты, ...,

S_n — все каналы системы заняты обслуживанием заявок, посту­пивших в систему.

Графически данную СМО можно представить в виде графа состояний (рис. 2.11).

*	'к		S1	к		S2

Рис. 2.11. Размеченный граф состояний многоканальной СМО с отказами

Приведенная интенсивность потока заявок

Я Р = .

м

Финальные вероятности состояний

p0 =

^{п i}

i=0

−1

146

Вероятность отказа

pотк =p

п\ Относительная пропускная способность

q = 1 -pотк = 1 –pn.

Абсолютная пропускная способность

A= λq = λ(1 -p_n). Среднее число занятых обслуживанием каналов

Т----(\- )-V- у" μ i=1

Среднее число заявок в системе

^~z_s = г + k = k~ . Среднее время обслуживания

Пример. Имеется мини-АТС с тремя телефонами. Если все телефоны (каналы) заняты, то внешний звонок отклоняется. Среднее время обслужи­ вания одной заявки каналом μ равно двум минутам. Поток заявок простей­ ший с интенсивностью λ = 1,5 '-. Составить граф состояний. Найти

мин.

финальные вероятности состояний и основные характеристики эффектив­ности СМО.

Решение. Данная СМО будет иметь четыре состояния: S0 — все три канала связи свободны,

147

51 — два канала связи свободны, а один — занят,

5₂ — один канал связи свободен, а два — заняты,

53 — все три канала связи заняты.

Поскольку среднее время обслуживания одной заявки каналом равно 2 минутам, то

заяв.

_=^4=o,5f

\ мин.

Граф состояний изображен на рис. 2.12.

= 1,5

Я = 1,5

Я = 1,5

S0

= 0,5

•V,

3μ = 1,5

S₃

Рис. 2.12

Вычислим основные показатели СМО. Финальные вероятности системы:

+

+ + 1! 2! 3!

—

=—Ра, 1=1,2,3,

13 9

-; pi--; pi--;

9

-

3!

26

Вероятность отказа _p = ρ _3p= 9

3!0 26

17

Вероятность обслуживания q = 1 -p_отк = —.

17

26

Абсолютная пропускная способность A = λ • q = 1,5 ≈ 0,981.

Среднее число занятых каналов к = A = 1,96.

148

Среднее время пребывания заявки в системе ~t_сис = k = 1— = 1,3 (мин).

л 1,5

Многоканальные системы массового обслуживания с ограниченной длиной очереди

Многоканальная система массового обслуживания S имеет n каналов и m мест в очереди. На вход системы поступают заявки, при этом интенсив­ность входящего потока равна λ. Заявка, попадающая в систему S, начинает обслуживаться, интенсивность потока обслуживания равна μ. Если все кана­лы заняты обслуживанием заявок, вновь пришедшая заявка ставится в оче­редь ожидания обслуживания заявок. Если все места в очереди заняты, то вновь пришедшая заявка отклоняется. В этом случае СМО имеет n+m+1 со­стояние:

50. — система свободна;

50. — один канал занят, очереди нет;

50. — два канала заняты, очереди нет; ...,

S_n — все каналы системы заняты обслуживанием заявок, посту­пивших в систему, очереди нет;

Sn+1 — все каналы системы заняты и занято одно место в очереди; S_n+2 — все каналы системы заняты и заняты два места в очереди ..., S_n+m — все каналы системы и места в очереди заняты.

Графически СМО можно представить следующим образом (рис. 2.13).

				S2
	4		4
	ц		2μ

Зц

				1		+2

пи

пи

>п+т

Рис. 2.13. Размеченный граф состояний многоканальной СМО с ограниченною очередью

149

Приведенная интенсивность потока заявок

Р =

Я

Финальные вероятности состояний

n+m

−1

p0 =

,-=о *^! мп\-п

¹~^п

Для случая ω = ρ < 1 формула финальной вероятности упрощается:

п

p0 =

~^ U П\-П X-OD

п+к

_к\

п\-п

Вероятность отказа

= Р

т+п

-Ро-

~-Рп+т

п • n! Относительная пропускная способность

= 1-p

отк.

Абсолютная пропускная способность

А = λ q = λ (1 -p_n+m). Среднее число занятых обслуживанием каналов

Среднее число заявок в очереди (ω = ρ < 1)

п

т

г =

_р₀р^п+1\-(

п-п\

+тсо

(l-cof

т+\

150

Среднее число заявок в системе

z_s=r

Среднее время обслуживания

^_к_

обс ₌λ

Среднее время в очереди

Среднее время в системе

7 -L L

^сис = λ ⁺ λ ^.

Пример. На автозаправочной станции установлены три колонки. Около станции находится площадка на три машины для ожидания в очере­ди. На станцию прибывает в среднем две машины в минуту. Среднее время заправки одной машины минута. Требуется определить вероятность отка­за и среднюю длину очереди.

Решение. Так как

~ 2 2

п = 3, m = 3, λ = 2, ~t_обс = 1, то μ = 1, ρ = 2 = 2, ω = 2 < 1,

Л- mJ

а финальная вероятность равна

−1

p0 =

_{Л о} 2² 2³ 2⁴ 1 + 2 + 2 + 2 + 2

2! 3! 3-3!

0,122 ,

151

Вероятность отказа равна вероятности пребывания в последнем со­стоянии S_n+m=S₆:

т+п fl\³l³

Ротк Рт+п

Средняя длина очереди

= Р - = ± —0.122 ≈0,048.

п^т-пГ" УЪ) 3!

3!

_Ы^Ы^У

= 0,35.

Многоканальные системы массового обслуживания с ожиданием

Многоканальная система массового обслуживания S имеет n каналов и бесконечную очередь. На вход системы поступают заявки, при этом интен­сивность входящего потока равна λ. Заявка, попадающая в систему S, начи­нает обслуживаться, интенсивность потока обслуживания равна μ. Если все каналы заняты обслуживанием заявок, вновь пришедшая заявка ставится в очередь. В этом случае СМО имеет бесконечное число состояний:

50. — система свободна;

50. — один канал занят, очереди нет;

50. — два канала заняты, очереди нет; ...,

S_n — все каналы системы заняты обслуживанием заявок, поступивших в систему, очереди нет;

Sn+1 — все каналы системы заняты и занято одно место в очереди; S_n+2 — все каналы системы заняты и заняты два места в очереди;

В этом случае СМО можно представить в виде графа состояний (рис. 2.14).

п\х

	'к		х >
S0		S1		S2
	ц

Зд

п\х

Sn				Sn+2

п\х

п\х

Рис. 2.14. Размеченный граф состояний многоканальной СМО с бесконечной очередью

152

Финальные вероятности состояний

−1

p0 =

=0 i п - n! 1 −

при ω =

Рк=ГГРо>^{к = 1}>п, Р_п+кГ к\ п\-п

Вероятность отказа

pотк ⁼ 0.

Относительная пропускная способность

q = 1.

Абсолютная пропускная способность

A=λ.

Среднее число занятых обслуживанием каналов

^{к = ρ.}

Среднее число заявок в очереди (ω<1)

(1-ю)² П'п\'(\-со)²

~_ω

₌ Р^п+1'Ро )² Пп\(\со)²

Среднее число заявок в системе

z_s = г + к .

Среднее время обслуживания

Среднее время в очереди

153

Среднее время в системе

^tcuc_{~ я} ⁺ _я'

Одноканальные системы массового обслуживания с отказами

Одноканальная система массового обслуживания S состоит из одного канала. На вход системы поступают заявки, при этом интенсивность входя­щего потока равна λ. Заявка, попадающая в систему S, начинает обслужи­ваться, интенсивность потока обслуживания равна μ. Если канал занят об­служиванием заявок, вновь пришедшая заявка отклоняется. В этом случае СМО имеет два состояния:

50. — система свободна,

50. — система занята.

Графически СМО можно представить следующим образом (рис. 2.15).

Р ис. 2.15. Размеченный граф состояний одноканальной СМО с отказами

Финальные вероятности состояний

1 ρ

Ро ⁼,5 p ⁼.

JT У) л ⁷ -t J- -t

Вероятность отказа

р

pотк =p 1

Относительная пропускная способность

154

Абсолютная пропускная способность

Я

А =

1+ρ

Среднее число занятых обслуживанием каналов

*=■ ^р

1+ρ

Среднее число заявок в очереди

г = 0. Среднее число заявок в системе

Среднее время обслуживания системой

- _к_

^ts~ λ^.

Среднее время ожидания в очереди

t =0

"пи ^v •

Пример. Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизи­онном ателье поступают с интенсивностью λ = 90 заявок в час, а средняя продолжительность переговоров по телефону составляет две минуты. Оп­ределить показатели эффективности работы СМО при наличие одного те­лефонного аппарата.

Решение. По условию задачи имеем λ = 90\ — \, ~t_обс=2()мин. Тогда

интенсивность потока обслуживания /л μ = 1 = 0,5 = 30 — .

t_o6c у) у)

155

4 =

Относительная пропускная способность СМО равна

30

= 0,25,

90 + 30

т. е. в среднем только 25 % поступающих заявок осуществляют перего­воры по телефону. Вероятность отказа в этом случае равна 0,75.

Абсолютная пропускная способность СМО равна

Л = 90-0,25 = 22,5,

т. е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Сле­довательно, при одном телефоне ателье плохо справляется с потоком заявок.