Понятие марковского случайного процесса

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дис­кретными состояниями и непрерывным временем, т. е. состояние СМО меня­ется скачком в случайный момент появления каких-то событий (например, прихода новой заявки, окончания обслуживания и т. п.). При этом под слу­чайным (вероятностным или стохастическим) процессом понимается процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с веро­ятностными закономерностями.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой — графом состояний (рис. 2.8).

135

S1		—>	S2
ч			1
	< / -	S
к	/	\	ч
S4			S5

Рис. 2.8. Пример графа состояний системы

Обычно состояния системы изображаются прямоугольниками, а воз­можные переходы из состояния в состояние — стрелками (ориентированны­ми дугами), соединяющими состояния.

Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивно-стями называют размеченным.

Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния S1, S2, S3,… можно заранее перечислить, а перехо­ды из состояния в состояние происходят мгновенно (скачком). Процесс на­зывается процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов системы из состояния в состояние не фиксированы заранее, а происходят случайно.

Анализ работы СМО существенно упрощается, если процесс этой ра­боты — марковский.

Случайный процесс называется марковским или случайным процес­сом без последействия, если для любого момента времени t0 вероятност­ные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент времени t0 и не зависят от того, когда и как система при­шла в это состояние.

Пример. Система S — счетчик в такси — пример марковского процес­са. Состояние системы в момент времени t характеризуется числом кило­метров, пройденных автомобилем до данного момента. Пусть в момент t₀ счетчик показывал S0. Вероятность того, что в момент t > t0 счетчик по­кажет то или иное число километров S_h зависит от S₀, но не зависит от того, в какие моменты времени изменялись показания счетчика.

136

Многие процессы можно приближенно считать марковскими. Напри­мер, процесс игры в шахматы; система S — группа шахматных фигур. Со­стояние системы характеризуется числом фигур противника, сохранившихся на доске в момент t0. Вероятность того, что в момент t > t0 материальный пе­ревес будет на стороне одного из противников, зависит в первую очередь от того, в каком состоянии находится система в данный момент t0, а не от того, когда и в какой последовательности исчезли фигуры с доски до момента t0.

Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний

Рассмотрим математическое описание марковского процесса с дис­кретными состояниями и непрерывным временем. Системы, их описываю­щие, обычно исследуют с помощью уравнений Колмогорова для вероятно­стей состояний.

Плотностью вероятности перехода Ау из состояния S_i, в состояние

Sj, называется предел отношения вероятности этого перехода за время Δt к длине промежутка Δt, когда последний стремится к нулю:

/L = limij,

⁴ limt→0 Δt

где Р(Δt) — вероятность того, что система, находившаяся в момент t в со­стоянии Si, за время Δt перейдет в состояние Sj.

Рассмотрим марковский процесс с дискретными состояниями и непре­рывным временем на примере случайного процесса, граф которого изобра­жен на рис. 2.9. Будем полагать, что все переходы системы из состояния S_i в Sj происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсив-ностями λij, i, j = 0,3. Рассматриваемая система S имеет четыре возможных

состояния: S0, S1, S₂, S₃.

Вероятностью i состояния называется вероятность р_i(t) того, что в момент t система будет находиться в состоянии S_i.

Очевидно, что для любого момента t сумма вероятностей всех состоя­ний равна единице.

(2.25)

137

Рис. 2.9. Граф состояний системы S

Рассмотрим систему в момент t и, задав малый промежуток Δt, найдем вероятность p₀(t + Δt) того, что система в момент t + Δt будет находиться в

состоянии S0.

Предположим, что система в момент t с вероятностью р0(t) находилась в состоянии S0, и за время Δt не вышла из этого состояния. Тогда вывести систему из него можно с помощью суммарного простейшего потока с интен­сивностью ()λ₀₁ + λ₀₂). Вероятность того, что система не выйдет из состояния

S0, равна [1-(Лщ +Ло₂)Лг]. Таким образом, вероятность того, что система бу­дет находиться в состоянии S0 и не выйдет из него за время Δt, равна

[\-{X₀₁+X₀₂)At]-p₀{t).

С другой стороны, система в момент t с вероятностями р1(t) и р₂(t) на­ходилась в состоянии S1 и S2 и за время Δt перешла в состояние S0 соответст­венно.

Потоком с интенсивностью Х^ система будет переведена из состояния S1 в состояние S₀ (или λ₂₀ из S₂ в состояние S₀) с вероятностью, приближенно равной λ1₀Δt (или λ₂₀Δt). В этом случае вероятность того, что система будет находиться в состоянии S0, равна \_QAt • p₁(t) (или λ₂₀Δt• p₂()t). Применяя теорему сложения вероятностей, получим

p₀ ()t + Δt = λ₁0Δt • _p1 (t) + λ₂₀Δt • p₂ (t) + [1 − (λ₀₁ + λ₀₂ )]Δt • p₀ (t)

138

откуда

П ереходя к пределу, при 0 Δ t → получим в левой части уравнения производную p_o{t).

Рассуждая аналогично для других состояний системы S, можно полу­чить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

Таким образом, правило составления уравнений Колмогорова заключа­ется в следующем:

1. в левой части каждого из уравнений стоит производная вероят­ ности i состояния,

1. в правой части — сумма произведений вероятностей всех со­ стояний (из которых идут стрелки в данное состояние) на ин­ тенсивности соответствующих потоков событий, минус сум­ марная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состояния, умноженная на вероятность данного (i со­ стояния).

В системе (2.27) независимых уравнений на единицу меньше общего числа уравнений. Поэтому для решения системы необходимо добавить урав­нение (2.28):

()t = 1. (2.28)

i=0

Особенностью решения дифференциальных уравнений является то, что требуется задать начальные условия. В данном случае вероятности состояний системы в начальный момент t = 0. Для данного случая систему уравнений

139

(2.27) естественно решать при условии, что в начальный момент система на­ходилась в состоянии S0, т. е. при начальных условиях

p₀()t = 0 = 1, _p1(t = 0) = p₂(t = 0) = p₃(t = 0) = 0.

В теории случайных процессов доказывается, что если число состоя­ний системы конечно и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.

Предельная вероятность состояния S показывает среднее относи­тельное время пребывания системы в этом состоянии.

Так как предельные вероятности постоянны, то, заменяя в уравнениях Колмогорова их производные нулевыми значениями, получим систему ли­нейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим. Для системы S с графом состояний, изображенном на рис. 2.27, такая система уравнений имеет вид

_-л(0

(4и +4>₂)-/^?з(0=4з • а (0+4»

Пример. Техническая система S состоит из двух узлов — 1 и 2, каж­дый из них независимо друг от друга может отказать. Поток отказов пер­вого узла — пуассоновский, с интенсивностью λ1; второго — также пуассо-новский, с интенсивностью λ2. Каждый узел сразу после отказа начинает ремонтироваться (восстанавливается). Поток восстановлений для обоих узлов пуассоновский с интенсивностью λ. Составить граф состояний и на­писать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Определить, при каких начальных условиях нужно решать эти уравнения, если в началь­ный момент времени (t = 0) система была исправна.

Решение. Определим состояния системы S:

5ц — оба узла исправны;

S21 — первый узел в ремонте, второй — исправен;

140

S12 — первый узел исправен, второй — в ремонте; S22 — оба узла в ремонте.

Граф состояний в таком случае будет иметь вид, изображенный на рис. 2.10

л	/		\
/	/к
S21
	ч		У
		S22	/

Р ис. 2.10. Граф состояний системы S

Система уравнений Колмогорова, соответствующая графу на рис. 2.10, имеет вид

Р\\ = ⁻(λ1 + λ2)p11 + λ(p21 + p12 Рг\ = А* ⁺ ^i)Pi\ + \Рп + Рп = "С* + λ 1p12 + λ2 Ри +

Начальные условия: p11(t=0) = 1,p12(t⁼0)⁼p₂1(t⁼0)^=p22(t⁼0)⁼ 0. Показатели эффективности систем массового обслуживания

Классификация целевых назначений теории массового обслуживания основана на выделении в ее структуре различных классов задач и, соответст­венно, областей применения получаемых результатов. Можно выделить сле­дующие классы задач:

1. задачи анализа поведения системы;

1. статистические задачи;

1. операционные задачи.

141

Области приложений теории массового обслуживания весьма разнооб­разны. К их числу, например, относятся транспортные системы, электронно-вычислительные комплексы, система медицинского обслуживания и т. п. В каждой из них возникают задачи, относящиеся к указанным выше классам.