Тема 2.2. Специальные модели исследования операций в экономике

Лекция 2.2.1. Операционные модели транспортного типа. Методы их решения: нахождение опорного решения транспортной задачи

Общая постановка транспортной задачи состоит в определении опти­мального плана перевозок некоторого однородного груза из т пунктов от­правления А1, А2 ,..., А_тв n пунктов назначения В1, В2,..., В_п. При этом в каче­стве критерия оптимальности обычно берется либо минимальная стоимость перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки. Рассмотрим транспортную задачу, в качестве критерия оптимальности которой взята ми­нимальная стоимость перевозок всего груза. Обозначим через Сц тарифы пе­ревозки единицы груза из i-го пункта отправления в j-й пункт назначения, через a_i — запасы груза в i-м пункте отправления, через bj — потребности в

грузе вj-м пункте назначения, а через Ху — количество единиц груза, перево­зимого из i-го пункта отправления вj-й пункт назначения. Тогда математиче­ская постановка задачи состоит в определении минимального значения функции

^ (².¹⁶)

i=\ j=\ при условиях

т

t (2.17)

i=1

(2.18)

i = 1,m;j = 1,n). (2.19)

П оскольку переменные x_ij(i = 1,m; j = 1,n) удовлетворяют системам

линейных уравнений (2.17) и (2.18) и условию неотрицательности (2.19), обеспечивается доставка необходимого количества груза в каждый из пунк-

98

тов назначения, вывоз имеющегося груза из всех пунктов отправления, а также исключаются обратные перевозки.

Всякое неотрицательное решение систем линейных уравнений (2.17) и (2.18), определяемое матрицей X = (x_ij ) (i = 1,m; j = 1,n), называется пла­ном транспортной задачи.

Будем называть любой план перевозок допустимым, если он удовле­творяет условиям (2.17), (2.18), т. е. все заявки удовлетворены, все запасы исчерпаны).

(

План X = (xij*) (i = 1,m; j = 1,n), при котором функция (2.16) принима­ет свое минимальное значение, называется оптимальным планом транс­портной задачи.

Обычно исходные данные транспортной задачи записывают в виде таблицы (табл. 2.12).

Таблица 2.12

Пункты	Пункты назначения										J Q TT Q f> T T
отправления	Вх				Bj				Вп
Ах	Х\\	Си				CV				С\п	a1
					Ху
...	...										...
А,		сi1				си				сin
					Ху
...	...										...
А-т	Хт1	С m1				сmj				Стп
					щ				тп
Потребности	Ъх		...		bj		...		К

99

Очевидно, общее наличие груза у поставщиков равно ,∑_ai а общая

i=1

потребность в грузе в пунктах назначения равна ∑bj единиц.

Если общая потребность в грузе в пунктах назначения равна запасу груза в пунктах отправления, т. е.

т _и_

j, (2.20)

то модель такой транспортной задачи называется закрытой. Если же ука­занное условие не выполняется, то модель транспортной задачи называется открытой.

ТЕОРЕМА. Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы груза в пунктах отправления были равны по­требностям в грузе в пунктах назначения, т. е. чтобы выполнялось равен­ство (2.20).

В случае превышения запаса над потребностью, т. е. ∑a_i >

дится фиктивный (n+1)-й пункт назначения с потребностью j и соответствующие тарифы считаются равными нулю:

^c in+1 ⁼ 0 ( ^{i =} 1, ^m) . Полученная задача — транспортная задача, для которой выполняется равенство (2.20).

т

Аналогично, при _∑a_i <∑_bj вводится фиктивный (m+1)-й пункт от-

п т

правления с запасом груза a_m+1 = ∑bj − ∑a_i и тарифы полагаются равными

100

нулю: 0c_m+1j = (j = 1,n). Этим задача сводится к обычной транспортной за­даче, из оптимального плана которой получается оптимальный план исход­ной задачи. В дальнейшем будем рассматривать закрытую модель транс­портной задачи. Если же модель конкретной задачи является открытой, то, исходя из сказанного выше, перепишем таблицу условий задачи так, чтобы выполнялось равенство (2.20).

Число переменных ху в транспортной задаче с т пунктами отправления и п пунктами назначения равно пт, а число уравнений в системах (2.17) и (2.18) равно n+m. Так как мы предполагаем, что выполняется условие (2.20), то число линейно независимых уравнений равно n+m-1.

Допустимый план будем называть опорным, если в нем отличны от нуля не более т+п-1 базисных перевозок, а остальные перевозки равны нулю.

Если в опорном плане число отличных от нуля компонент равно в точ­ности n+m-1, то план является невырожденным, а если меньше — вырож­денным.

Для определения опорного допустимого плана существует несколько методов. Ниже рассматриваются метод северо-западного угла и метод мини­мального элемента.

Как и для всякой задачи линейного программирования, оптимальный план транспортной задачи будет опорным и допустимым планом.

Ввиду исключительной практической важности транспортной задачи и специфики ее ограничений (каждая неизвестная входит лишь в два уравнения систем (2.17) и (2.18) и коэффициенты при неизвестных равны единице) для определения оптимального плана транспортной задачи разработаны специ­альные методы. Один из них — метод потенциалов — изложен ниже.

101