Задача о загрузке

Самолет загружается предметами N различных типов. Каждый предмет типа j имеет вес wj и стоимость v_j (j=1,2,...,N). Максимальная грузоподъем­ность самолета равна W. Требуется определить максимальную стоимость груза, вес которого не должен превышать максимальную грузоподъемность самолета. Предположим, что W = 5 и всего имеются три типа предметов, чи­словые сведения о которых приведены в таблице 2.8.

Таблица 2.8

j	wj
1 2 3	2 3 1	65 80 30

Сначала рассмотрим задачу в общей постановке. Если обозначить ко­личество предметов типа j через kj, то задача принимает следующий вид: максимизировать v1 k1+v₂ k₂+…+ v_Nk_N при ограничениях

w1 k1 + w₂ k₂ +…+ w_Nk_N≤ W, где Ц — неотрицательные числа.

Если отбросить требование целочисленности kj, то решение задачи не­трудно найти с помощью симплекс-метода. В самом деле, так как остается лишь одно ограничение, базисной будет только одна переменная, и задача сводится к выбору типа j, для которого величина _v =W принимает макси­мальное значение. Исходная задача не является задачей линейного програм­мирования, мы попытаемся использовать для её решения методы динамиче­ского программирования. Следует отметить, что рассматриваемая задача мо­жет быть также решена с помощью методов целочисленного программирова­ния.

Каждый из трех основных элементов модели ДП определяется сле­дующим образом.

1. Этапj ставится в соответствие типу j, j = 1,2, ... ,N.

94

2. Состояние yj на этапеj выражает суммарный вес предметов, решение о погрузке которых принято на этапаху+1,,… ,N; при этом y 1=Wиyj = 0,

3. Варианты решения kj на этапе j описываются количеством предметов

типа j. Значение kj заключено в пределах от нуля до

W

, где

W

целая часть числа (W/wj).

Данная задача имеет несомненное сходство с задачей распределения капиталовложений и также относится к классу задач распределения ресурсов. Единственное различие состоит в том, что в задаче о загрузке структура ва­риантов решения несколько сложнее, чем в задаче распределения капитало­вложений.

Пусть fj(yj) — максимальная суммарная стоимость предметов, решения о погрузке которых приняты на этапах j, j = 1, …, N при заданном состоянии _y j.

Рекуррентное соотношение (для процедуры обратной прогонки) имеет следующий вид:

N(yN)= ^max

y_N=0,1,...W

yj=0,1,...W

Заметим, что максимальное допустимое значение kj ограничено вели­чиной [yj/w_j]. Это позволяет автоматически исключать все не являющиеся допустимыми варианты при заданном значении переменной состояния yj.

Для приведенного выше численного примера поэтапные расчеты осу­ществляются следующим образом.

95

Этап3

_{/3W =}

}, max k₃ = [5/1] = 5

Таблица 2.9

Уг	30 k3						Оптимальные решения
	k3=0	1	2	3	4	5	/.W	k*
	Уз£з=°	30	60	90	120	150
0 1 2 3 4 5	о о о о о о	1 О О О О О 1 со со со со со	60 60 60 60	90 90 90	120 120	150	0 30 60 90 120 150	0 1 2 3 4 5

Этап 2

f₂ () _y 2 = max{80k₂ + f₃ (y₂ − 3k₂)}, max k₂ = []5 / 3 = 1

Таблица 2.10

y2	{80 k2+ f3(y2−3k2)}		Оптимальные решения
	k2=°	k2=1		k*
	v2k2 = 0	v2k2 = 1
0 1 2 3 4 5	0+0 = 0 0+30 = 30 0+60 = 60 0+90 = 90 0+120 = 120 0+150=150	80+0 = 80 80+30 = 110 80+60 = 140	0 30 60 90 120 150	о о о о о о

96

Этап 1

Таблица 2.11

Ух				Оптимальные решения
	1=0		k1=2		кг*
	v1 k1=0	v1 k1=65	v1k1=130
0 1 2 3 4 5	0+0 = 0 0+30 = 30 0+60 = 60 0+90 = 90 0+120 =120 0+150=150	65+0 = 65 65+30 = 95 65+60 = 125 65+90 =155	130+0 = 130 130+30 = 160	0 30 65 95 130 160	0 0 1 1 2 2

При заданном y1= W= 5 оптимальным решением является

1*,k₂*,k3*) = (2,0,1), а суммарная стоимость груза равна 160.

Заметим, что на этапе 1 достаточно построить только одну строку таб­лицы, соответствующую значению y1 = 5. Однако, располагая полной табли­цей для значений y1= 0, 1, 2, 3, 4 и 5, можно исследовать изменения в опти­мальном решении, которые вызываются уменьшением максимальной грузо­подъемности W = 5, т. е. провести анализ чувствительности решения. Вы­числительная схема ДП автоматически обеспечивает возможность проведе­ния такого анализа.

97