Задача распределения капиталовложений

Совет директоров фирмы рассматривает предложения по наращиванию производственных мощностей на трех принадлежащих фирме предприятиях. Для расширения всех трех предприятий выделены средства в объеме 5 млн долл. Каждое предприятие представляет проекты, которые характеризуются величинами (в миллионах долларов) суммарных затрат с и доходов R, свя­занных с реализацией каждого проекта. Соответствующие данные приведены в табл. 2.1, в которую включены также проекты с нулевыми затратами. Это позволяет учесть возможность отказа от расширения какого-либо предпри­ятия. Цель фирмы состоит в получении максимального дохода от инвестиций в объеме 5 млн долл.

Таблица 2.1

Проект	Предприятие 1		Предприятие 2		Предприятие 3
	Сх	R1	c2	R2
1 2 3 4	0 1 2	0 5 6	0 2 3 4	0 8 9 12	0 1	0 3

Модель динамического программирования

Необходимо внести ясность в вопрос о структуре рекуррентных вы­числений в ДП. Расчеты на некотором этапе осуществляются на базе свод­ной информации о максимальном суммарном доходе (самом длинном пути), полученной в результате всех предшествующих этапов. При этом все от­дельные решения, найденные на предшествующих этапах, не представляют существенного интереса. Действительно, все последующие решения строятся некоторым оптимальным образом независимо от решений, полученных на

87

предшествующих этапах. Это отражает сущность принципа оптимально­сти, составляющего основу вычислительной схемы ДП (принцип оптималь­ности Беллмана).

При формировании динамической модели необходимо определить эта­пы решения задачи. В задаче распределения капиталовложений каждому из предприятий поставим в соответствие некоторый этап, поскольку требуется выбрать оптимальный проект для каждого предприятия. Этапы связаны меж­ду собой посредством ограничения на суммарный объем капиталовложений. При построении модели необходимо учесть эту связь таким образом, чтобы получить возможность по отдельности решать подзадачи, соответствующие каждому этапу, не нарушая при этом условия допустимости. Введем сле­дующие определения:

jci — объем капиталовложений, распределенных на этапе 1;

x₂ — объем капиталовложений, распределенных на этапах 1 и 2;

x3 — объем капиталовложений, распределенных на этапах 1, 2 и 3.

Наиболее важным при построении динамической модели является спо­соб определения величин xj, который позволяет автоматически выводить из рассмотрения недоступные проекты (дуги). В ДП используется аналогичный прием, приводящий к понятию состояния системы. Этот термин не пред­ставляется бесспорно удачным, поскольку он описывает «состояние» систе­мы лишь с позиций наличия ограниченного количества некоторого ресурса, что обеспечивает взаимную увязку всех этапов.

Рекуррентное соотношение ДП можно записать в следующем виде: fj(xj)= max {Rj(kj)+ fj₋₁(xj₋₁)}, j = 1,2,3.

^{J K j п} о допустимым ^{j j J J}

проектам k

Здесь Rj (kj) — доход, полученный наj-м этапе в результате реализации проекта kj при вложении средств в размере jc,, /^(jc^J — максимальный

доход на (j-1)-м этапе после вложения средств в размере xj_-1.

88

При этомf₀()x₀ = 0 по определению. Приведенное равенство действи­тельно является рекуррентным, так как величина f (x ) на этапе j вычисля­ется по известному значению fj−1(xj−1) на этапе j А при f ()x 0 = 0.

Чтобы представить рекуррентное соотношение в корректной математи­ческой форме, необходимо сделать два замечания, которые к тому же помо­гут устранить кажущиеся различия между моделью ДП и сетевой моделью для рассматриваемой задачи.

Во-первых, заметим, что fj(x_j) — функция единственного аргумента.

Отсюда следует, что правая часть рекуррентного соотношения должна быть выражена через xj, а не через xj_-1. Разность между xj и xj_-1 равна величине за­трат (c_j) на реализацию проекта Ц на этапеj, т. е. cj(kj) = xj - xj-1.

Теперь можно выразить xj_-1 через xj с помощью равенства

Такая замена обеспечивает более корректную математическую запись рекуррентного соотношения.

Во-вторых, необходимо представить в математической форме условие, предписывающее рассмотрение только допустимых проектов. В этом случае можно также воспользоваться равенством cj(kj) =xj -xj_-1. Однако это ограни­чение уже введено выше путем замены xj_-1 = = xj- -cj(kj) в функции fj₋₁(xj₋₁).

Чтобы обеспечить полную корректность, следует учесть не требующее пояс­нений неравенство 0xj₋ 1 ≥, откуда xj - cj(kj) ≥ 0 или xj ≥ cj(kj).

Таким образом, рекуррентное соотношение ДП имеет следующий вид:

f0()x0=0

fj()xj= max {}Rj()()kj₊ fj −1()xj−cjkj, j = 1, 2, 3.

^cj()^kj^≤xj

Ниже приводятся результаты поэтапных расчетов на основе рекуррент­ного соотношения для рассматриваемой задачи. Они представлены в виде таблиц, так как в ДП обычно используется табличная форма записи числовых результатов.

89

Этап 1

f1(x1)= max

k1 =1,2,3

Таблица 2.2

x1				Оптимальное решение
	h=\	k1 = 2	k1=3	/,«),	it,*
0	0	—	—	0	1
1	0	5	—	5	2
2	0	5	6	6	3
3	0	5	6	6	3
4	0	5	6	6	3
5	0	5	6	6	3

Этап 2

f₂()x₂ = max

k₂ =1,2,3,4

Таблица 2.3

		\R(k						Оптимальное ре-
хг		2	i					шение
	k2=1	k2=	2	k2	= 3	k2=	4	/»2	к*
0	0+0 = 0							0	1
1	0+5 = 5							5	1
2	0+6 = 6	8+0 =	= 8					8	2
3	0+6 = 6	8+5 =	= 13	9+0	= 9			13	2
4	0+6 = 6	8+6 =	= 14	9+5	= 14	12+0 =	= 12	14	2 или 3
5	0+6 = 6	8+6 =	= 14	9+6	= 15	12+5 =	= 17	17	4

90

Этап3

f₂()x₂= max {R₃(k₃)+f₂(x₃−c₃(k₃))}

3() k3=1,2.

Таблица 2.4

Хз			Оптимальное решение
	къ=\	k3 = 2	/»з	£з*
5	0+17 = 17	3 + 14 = 17	17	1 или 2

Оптимальное решение можно найти непосредственно из приведенных выше таблиц 2.2—2.4. Сначала рассматривается таблица, построенная на

этапе 3. При x3 = 5 оптимальный проект имеет либо к₃ =1, либо к₃ =2. Пусть сначала к₃* =1.Так как c3(1) = 0, на этапах 2 и 1 x₂ =x₃ −c₃()1 = 5. Лег­ко видеть, что на этапе 2 из x₂ = 5 следует к₃ = 4. Далее c₃(4) = 4, откуда

x1= 5 - 4 = 1. На этапе 1 из x1 = 1 вытекает к\=2. Таким образом, (2, 4, 1) есть оптимальный набор проектов для предприятий.

Рекуррентное соотношение для процедуры обратной прогонки

В предыдущем разделе вычисления проводили в соответствии с после­довательностью f 1 → f₂ → f ₃.

Такой метод вычислений известен как алгоритм прямой прогонки, поскольку расчеты осуществляются в естественном порядке следования эта­пов. Однако в специальной литературе, посвященной динамическому про­граммированию, рассматривается рекуррентное соотношение, которое пред­писывает начинать вычисления с последнего этапа и затем «двигаться» назад до этапа 1. Такой метод вычислений известен как метод обратной прогонки.

Основное различие между процедурами прямой и обратной прогонки заключается в способе определения состояния системы. С целью пояснения

91

опять обратимся к задаче распределения капиталовложений. Для процедуры обратной прогонки определим состояния yj следующим образом:

y1 — объем капиталовложений, распределенных на этапах 1, 2, 3. y2 — объем капиталовложений, распределенных на этапах 2, 3. y₃ — объем капиталовложений, распределенных на этапе 3. Положим

f3()y3 — максимальный доход на этапе 3 при заданном y₃; f₂()y₂ — максимальный доход на этапах 2 и 3 при заданномy2; f1()y1 — максимальный доход на этапах 1, 2 и 3 при заданномy1.

Следуя аналогичным рассуждениям, проведенным в процедуре прямой прогонки f₄ ()_y 4 = 0.

Рекуррентное соотношение для процедуры обратной прогонки запи­сывается в следующем виде:

₎},j = 1,2,3.

Порядок поэтапных вычислений определяется последовательностью /з 3→ f 2→ f1 . Ниже приводятся результаты расчетов.

Этап3

f3(y₃)= max {R₃(k₃)}

Таблица 2.5

	Яз(кз)		Оптимальные решения
Уз	k3=1	k3=2	f (y)	кг*
0	0	—	0	1
1	0	3	3	2
2	0	3	3	2
3	0	3	3	2
4	0	3	3	2
5	0	3	3	2

92

Этап 2

max

С₂(А:₂)<^₂ k₂ =1,2,3,4

Таблица 2.6

	{R2(k2) + f3(y2−c2(k2))}				Оптимальное решение
	k2=1	k2=2	k2=3	k2=4	/,W	кг
0 1 2 3 4 5	0+0 = 0 0+3 = 3 0+3 = 3 0+3 = 3 0+3 = 3 0+3 = 3	8+0 = 8 8+3 = 11 8+3 = 11 8+3 = 11	9+0 = 9 9+3 = 12 9+3 = 12	12+0 = 12 12+3 =15	0 3 8 11 12 15	1 1 2 2 3 или 4 4

Этап 1

/iW=

max

(l)l

! =1,2,3

Таблица 2.7

					Ы		Оптимальное реше­ние
			k1=2		1=	з		k1*
5	0+15 =	15	5+12 =	17	6+11 =	= 17	17	2 или 3

В качестве еще одной ситуации, для принятия решения в которой ис­пользуется аппарат ДП, можно привести следующую задачу о загрузке.

93