Раздел 2. Нелинейные и специальные модели исследования операций

Тема 2.1. Нелинейность в экономических процессах

Лекция 2.1.1. Постановка задачи и методы решения для моделей

Нелинейного программирования

Во многих экономических исследованиях операций зависимости между постоянными и переменными факторами при более детальном рассмотрении оказываются нелинейными. Как правило, в теории управления такие показа­тели, как прибыль, себестоимость, совокупные транспортные затраты, капи­тальные затраты на производство, зависят от объема производства (расходы ресурсов, объема перевозок и др.) нелинейно. В этом случае возникает задача нелинейного программирования, математическая модель которой в вектор­ной форме может быть представлена как определение максимального (мини­мального) значения функции f(x₁,x₂,...x_n):

x = maxfx₁,x₂,..._xn или minf(x)() = minfx₁,x₂,...x_n (2.1)

при условии, что её переменные удовлетворяют соотношениям

g_i(x₁,x₂,...x_n)≤b_i (i = 1,...,k), (2.2)

g_i(x₁,x₂,...x_n) = b_i (i = k + 1,...,m), (2.3)

где f и gi — некоторые известные функции n переменных, а b_i — заданные числа. Функцииfи g_i(x) — нелинейные.

Сведение задачи условной оптимизации к безусловной

Данный метод применим для случая, если задача имеет ограничения только типа равенств, т. е. (2.3). Суть этого метода состоит в том, что за счет ограничений-равенств в задачи уменьшается число переменных.

71

Будем считать, что система из m ограничений относительно n перемен­ных

_gi(x)−b_i=0, i = 1,2,...,m (2.4)

может быть разрешима относительно части своих переменных. Не нарушая общности, можно считать, что в системе (2.4) переменные x₁,x₂,...,x_m— за­висимые, а x_m,x_m+1,...,x_n — независимые. В этом случае из системы (2.4) по­лучим выражения для зависимых переменных через независимые:

^Xj=<Pj(^Xm₊l>^Xm₊2>->^Xn\ У = 1,2,...,m. (2.5)

Подставляя (2.4) в (2.5), получим новую задачу:

так/(р₁(х_т+1,...,х_п),...,р_т(х_т+1,...,х_п),х_т+1,...,х_п), (2.6)

в которой оптимизируемая функция уже зависит от n - m переменных.

Пример. Найти минимум функции х\ +xl+x₁-x₂+x₃- 2x₄ + x₅, если

Ли "т" Лу i Л-э — •• •

jcj + 2x₂ +x₃+x₄= 10,

•J«Xi "т" JJC'j "т" jXi "т" JCa "т" лс — Ј<D •

x₁,...,x₅≥0.

Решение. В задаче требуется найти минимум функции относительно пяти переменных, определенных на множестве с тремя ограничениями. Сле­довательно, две переменные будут независимыми, а три — зависимыми. Пусть зависимыми переменными будут x3, x4 и x₅. Из ограничений найдем

₄ = 5 − x₂ ≥ 0 ₅=5 + 8x₁−x₂≥0

72

Подставив найденные выражения для x₃, x₄ и x₅ в функцию f(x), полу-

чим

min f(x)= min (xf+x₂^г+x_l-x₂+(5-x_l-x₂)-2(5-x₂)■ = min ()x^x xx¹₂1 2 2 ₂)

x,. x* > 0 V '

-x₂y\-

при ограничениях

5 − x₁ − x₂ ≥ 0

5−x₂≥0

5 + 8x1 − x₂ ≥ 0

Далее эту задачу можно решить графически (рис. 2.1).

									=5
								x2
+4f+(x2-			N.
			>	J	\
						\
	1/2	)=<	65/	4/\|			N
				/				\
								i

Рис. 2.1. Графическое решение задачи

73

Т. к. минимизируемая функция после преобразования стала квадратич-

ной относительно двух переменных: f()()x₁, x₂) = x₁ + 4² + \х₂ − , то

2

из

ее вида следует, что она будет принимать наименьшее значение при x1=0 и x2=1/2. Возвращаясь к исходной задаче, получим ответ:

* * 1 *¹⁹ *19 * _ _ 1 9

x* = 0, х =—, х =5-0 — = 9, х =5 — = 9, х =5 + 0 — = 9,

^{1 2} 2 ³ 2 2 ⁴ 2 2 ⁵ 2 2

*65

~ 4 ^.