Этап 1. Определение статуса ресурсов

Для получения результатов этого этапа достаточно обратиться к по­следней (оптимальной) симплекс-таблице (табл. 1.7), переписав данные из нее в следующей форме (табл. 1.8).

Таблица 1.8

№ ресурса	Название ресурса	Значение дополнительной переменной ресурса	Значение двойственной переменной ресурса	Статус ресурсов
1	Ткань	x3*=0	Δ*3=y1*=10	дефицитный
2	Затраты труда	*4=0	Δ*4 = y* 2 =	дефицитный
3	Фурнитура	x* = 80		недефицитный
4	Спрос	6*=6	. * * „ А6=у4=0	недефицитный

В табл. 1.8 результатов анализа по выявлению статуса ресурсов исполь­зуются значения дополнительных (x₃*, x₄*, x₅*, x₆*) и двойственных

(y1 *,y2*, y3*, y4*) переменных ресурсов, по которым и были сделаны выводы по статусу (типу) ресурсов, приведенные в табл. 1.8. Содержательно эти вы­воды состоят в следующем:

—ресурс «ткань» используется полностью, это подтверждается значением дополнительной переменной (х₃ =0) и двойственной

переменной (у₁ =10), которые соответствуют характеристикам

дефицитного ресурса;

—ресурс «затраты труда» используется полностью, это подтвер­ждается значением дополнительной переменной (х₄ =0) и двой­ственной переменной (y₂* =15), которые соответствуют характе­ристикам дефицитного ресурса;

—ресурс «фурнитура» используется не полностью, это подтвер­ждается значением дополнительной переменной (x₅* = 80) и двой-

60

ственной переменной (у₃ = 0), которые соответствуют характе­ристикам недефицитного ресурса; ресурс «спрос» используется не полностью, это подтверждается

значением дополнительной переменной (х₆ =6) и двойственной

переменной (y4*=0), которые соответствуют характеристикам недефицитного ресурса.

61

Лекция 1.2.5. Постоптимальный анализ решения линейных моделей с использованием двойственных оценок: аналитический подход (продолжение)

Этап 2. Определение эффективности приращения запасов ресурсов

Напомним, что ранее был определен статус всех ресурсов, участвую­щих в производстве брюк и юбок. Дефицитными ресурсами оказались ткань и затраты труда, а недефицитными — фурнитура и спрос. Для дефицитных ресурсов представляет интерес определение величины целесообразного при­роста запаса, который повлечет за собой увеличение целевой функции (в на­шем случае — дохода от реализации). Для недефицитных ресурсов оценива­ется величина возможного снижения запаса, при котором исходное опти­мальное решение сохраняется, а излишние запасы ресурсов сокращаются.

Обозначим как ε1 величину изменения запаса по дефицитному ресурсу «ткань». Тогда запас этого ресурса будет определяться выражением 42 + ε1. Нас будет интересовать в первую очередь определение величины ε1 > 0, по­скольку ткань является дефицитным ресурсом. Однако с помощью аналити­ческих таблиц симплекс-процедуры (табл. 1.9) можно выяснить также, на сколько может уменьшиться запас дефицитного ресурса, чтобы производст­венный процесс мог осуществиться (при возникновении, например, ситуации внезапного срыва поставок ткани).

Вспомним, что элементами столбца Р₀ служат значения базисных пере­менных, которые по условиям исходной ситуации были определены как не­отрицательные. Тогда нам нужно выяснить, при каких значениях ε1 выраже­ния, входящие в столбец Р0 оптимальной симплекс-таблицы, будут неотрица­тельными. Получаем систему неравенств следующего вида:

> 0,

80--^ >0,

12−2ε1≥0.

3 ¹

62

Таблица 2.5

				60	50	0	0	0	0
i	базис	С баз	Р0	Р1	Pi	Р3	Pa	Р5	Р6
1	Р3	0	42+ε1	1,5	2	1	0	0	0
2	Р4	0	60	3	2	0	1	0	0
3	Р5	0	200	5	5	0	0	1	0
4	Р6	0	18	1	0	0	0	0	1
5			0	-60	-50	0	0	0	0
1	Р3	0	15+ε1	0	2	1	0	0	3 –2
2	Р4	0	6	0	2	0	1	0	-3
3	Р5	0	ПО	0	5	0	0	1	-5
4	Р1	60	18	1	0	0	0	0	1
5			1080	0	-50	0	0	0	60
1	Р3	0	9+ε1	0	0	1	-1	0	3 2
2	Р2	50	3	0	1	0	1 2	0	3 2
3	Р5	0	95	0	0	0	5 2	1	5 2
4	Р1	60	18	1	0	0	0	0	1
5			1230	0	0	0	25	0	-25
1	Р6	0		0	0	2 3	2 ~I	0	1
2	Pi	50	12+ε1	0	1	1	1 −2	0	0
3	Ps	0	80−53ε1	0	0	5 −3	5 −6	1	0
4	Р1	60		1	0	2 3	2 3	0	0
5			1320+10ε1	0	0	10	15	0	0

63

В случае исследования возможного увеличения запаса дефицитного ре­сурса «ткань» мы должны рассматривать случай, когда ε1 > 0. Тогда решени­ем указанной системы неравенств будетε1≤ 18, т. е. целесообразный прирост ткани не должен превышать 18 м в сутки. Если же прирост превысит 18 м, то ткань из разряда дефицитных ресурсов перейдет в недефицитные, и опти­мальное решение будет определяться величинами запасов других ресурсов.

Интервально определить величину целесообразного прироста ткани можно следующим образом: 0 < ε1 ≤ 18 или, оперируя полным объемом запа­са ткани, 42 < запас ткани ≤ 60.

Определим, на сколько может снизиться запас дефицитного ресурса «ткань», чтобы производственный процесс мог осуществиться. Рассмотрим случай ε1 < 0. Тогда решением приведенной выше системы неравенств будет ε1 ≥ -9, т. е. в случае снижения запаса ткани ниже чем до уровня 33 м линей­ная модель швейного цеха не будет иметь решения (в силу несовместности системы ограничений).

Проведем аналогичные рассуждения по второму ресурсу — «затраты труда», который также является дефицитным. Обозначим изменение запаса этого ресурса как ε₂, тогда исходный запас трудозатрат составит 60 + ε2. Про­следим сформированные изменения в ходе решения симплекс-методом в табл. 1.10.

Исходя из элементов столбца Р₀ оптимальной симплекс-таблицы, по­лучим систему неравенств:

12₂ ≥ 0, --£₂>0,

3 ²

64

Таблица 1.10

				60	50	0	0	0	0
i	базис	С баз	Р0	Р1	Pi	Р3	Р4	Р5	Р6
1	Р3	0	42	1,5	2	1	0	0	0
2	Р4	0	60 + ε2	3	2	0	1	0	0
3	Р5	0	200	5	5	0	0	1	0
4	Р6	0	18	1	0	0	0	0	1
5			0	-60	-50	0	0	0	0
1	Р3	0	15	0	2	1	0	0	3 –2
2	Р4	0	6 + ε2	0	2	0	1	0	-3
3	Р5	0	ПО	0	5	0	0	1	-5
4	Р1	60	18	1	0	0	0	0	1
5			1080	0	-50	0	0	0	60
1	Р3	0	9	0	0	1	-1	0	3 2
2	Р2	50		0	1	0	1 2	0	3 2
3	Р5	0	95	0	0	0	5 2	1	5 2
4	Р1	60	18	1	0	0	0	0	1
5			1230+25ε2	0	0	0	25	0	-25
1	Р6	0		0	0	2 3	2 3	0	1
2	Р2	50	12−1ε	0	1	1	1 2	0	0
3	Р5	0	80−5 ε2 6	0	0	5 −3	5 −6	1	0
4	Р1	60	12+23ε2	1	0	2 3	2 3	0	0
5			1320 +15ε2	0	0	10	15	0	0

65

При определении целесообразного прироста запаса трудозатрат (ε₂ > 0) решением данной системы неравенств будет ε₂ ≤ 9, т. е. увеличивать трудоза­траты имеет смысл до величины 60 + 9 = 69 чел.-ч. Интервал, в котором на­ходится целесообразное увеличение запаса трудозатрат, выглядит так:

60 < запас трудозатрат ≤ 69.

Возможное снижение трудозатрат (ε₂ < 0), при котором модель будет иметь решение, определяется четвертым ограничением системы и выглядит как ε₂≥ -18. Это означает, что объем трудозатрат, меньший чем 42 чел.-ч, не позволит выпускать готовую продукцию.

По приведенным выше расчетам, связанным с анализом дефицитных ресурсов, становится понятным формирование системы неравенств, состоя­щих из элементов столбца Р0, на которые наложено условие неотрицательно­сти. Элементы столбца Р₀ ^в симплекс-таблице, где рассматриваются возмож­ные изменения запасов ресурсов, состоят из элементов столбца Р0 оптималь­ной симплекс-таблицы нахождения исходного оптимального плана, к кото­рым добавлено произведение ε на коэффициент столбца матрицы А, соответ­ствующего дополнительной переменной исследуемого ресурса.

Третий ресурс («фурнитура») является недефицитным, поэтому при анализе его изменения нас будет интересовать только величина возможного снижения запаса. Обозначим как ε₃ величину возможного снижения запаса фурнитуры и рассмотрим случай ε₃< 0. Система неравенств выглядит сле­дующим образом:

Очевидно, что решение определяется третьим неравенством системы (ε₃ ≥ -80) и состоит в том, что запасы фурнитуры можно снизить на 80 долл. в сутки (до уровня 120 долл.), причем это не нанесет ущерба реализации вы­бранной производственной стратегии (производить 12 брюк и 12 юбок).

При анализе недефицитного ресурса «спрос» (обозначим величину его целесообразного снижения как ε₄, причем ε₄ < 0) решение будет определяться

66

ограничением-неравенством вида 6 + ε₄≥0, откуда ε₄ ≥-6. Таким образом, величина спроса на брюки, даже снизившись до уровня 18 - 6 = 12 штук в су­тки, не отразится на выбранной швейной фабрикой стратегии.

Следует заметить, что проведение анализа по выявлению величин це­лесообразного снижения запасов недефицитных ресурсов, по сути дела, по­вторяет сделанные ранее выводы, поскольку найденные величины являются одновременно значениями дополнительных переменных х₅ и х₆, которые ус­тановлены в ходе выполнения этапа 1.

Этап 3. Определение чувствительности оптимального решения к колебаниям цен готовой продукции

Как было показано выше, оптимальное решение производственной за­дачи швейного цеха — выпуск 12 брюк и 12 юбок в сутки, что обеспечивало цеху получение дохода равного 1320 долл. Рассмотрим, как будет меняться это оптимальное решение, если на рынке будут происходить колебания цен на юбки и брюки.

Обозначим как τ₁ величину изменения цены на брюки, причем τ₁ мо­жет быть как ≤ 0, так и > 0≥, поскольку рассматривается как возможное по­вышение, так и понижение цены на рынке. Определим интервал колебания цены на брюки, при котором найденный ранее оптимальный план сохранит свою устойчивость. Окончательное выражение для цены на брюки с учетом возможных колебаний примет вид: с₁ + τ₁ или 60 + τ₁. Проследим, как это

изменение отразится на таблице симплекс-процедуры (табл. 1.11).

Поскольку цены готовой продукции участвуют в формировании вели­чин оценочной строки, то для сохранения устойчивости исходного опти­мального решения необходимо, чтобы все значения оценок Δ_j были неотри­цательны (по критерию оптимальности симплекс-метода).

67

Таблица 1.11

				60	50	0	0	0	0
i	базис	С баз	Р0	Р1	Pi	Р3	Р4	Р5	Р6
1	Р6	0	6	0	0	2	2 ~3^	0	1
2	Pi	50	12	0	1	1	1 −2	0	0
3	Ps	0	80	0	0	5 3	5 6	1	0
4	Р1	60 + τ1	12	1	0	2 "з"	2 3	0	0
5			1320	0	0	10-2τ1 3 τ	3 τ	0	0

Оценки Δ₁, Δ₂, Δ₅, Δ₆ равны нулю, поэтому нас будут интересовать только Δ₃ и Δ₄. Получим систему неравенств

о-|^>о,

2 5 + 2_τ≥0.

3 ^τ

Рассмотрим, когда цена на брюки повышается (τ₁ > 0). В этом случае решением указанной системы неравенств будет 1₅ τ1≤. В случае понижения цены на брюки (0_τ1<) решением системы неравенств будет 5τ1≥−22,.

Окончательный интервал возможного колебания цен на брюки выглядит сле­дующим образом: 15−22,5≤ τ1≤ или 7537,5 ≤с 1≤. Интерпретация найден­ного интервала колебания цен на брюки состоит в том, что если рыночная цена на брюки колеблется в указанных пределах, то швейный цех может по-прежнему производить 12 брюк и 12 юбок, что обеспечит ему максимальный суточный доход (величина которого будет отличаться от исходной, но будет наибольшей среди возможных). Как только цена на брюки станет ниже чем 37,5 долл. или выше чем 75 долл., швейному цеху необходимо будет пере-

68

смотреть суточную производственную программу, поскольку прежняя уже не будет обеспечивать максимального дохода. Следует пояснить, что интер­вальное неравенство рассматривается именно как нестрогое, поскольку в случае равенства цены на брюки в 37,5 долл. или в 75 долл. возникает ситуа­ция неединственности решения (в геометрической интерпретации это одна из граней многоугольника решений), когда исходный план (производить 12 юбок и 12 брюк) сохраняет свой статус как один из возможных оптимальных.

Аналогичным образом определим интервал возможного колебания ры­ночной цены на юбки. Обозначим как τ₂ величину возможного изменения

рыночной цены, причем τ₂ может быть как ≤ 0, так и ≥ 0. Тогда выражение для цены на юбки будет иметь вид: с₂ + τ₂ или 50+ τ₂.

Рассмотрим изменения в последней (оптимальной) симплекс-таблице, если цена на юбки определяется как 50+ τ₂ (табл. 1.12).

Следуя приведенным выше рассуждениям, когда анализировалась ры­ночная цена брюк, построим систему неравенств:

0 + ₂≥0,

5--

2

Рассмотрим, когда цена на юбки повышается (0τ₂ >). В этом случае решением указанной системы неравенств будет τ₂ ≤30. В случае понижения цены на юбки (τ₂ < 0) решением системы неравенств будет τ₂ ≥−10. Окон­чательный интервал возможного колебания цен на юбки выглядит следую­щим образом: −10 ≤ τ₂ ≤ 30 или 40≤с₂≤80. Интерпретация найденного ин­тервала колебания цен на юбки аналогична предыдущим рассуждениям: если рыночная цена на юбки колеблется в указанных пределах, то швейный цех может по-прежнему производить 12 брюк и 12 юбок, что обеспечит ему мак­симальный суточный доход (величина которого будет отличаться от исход­ной, но будет наибольшей среди возможных). Как только цена на юбки ста­нет ниже чем 40 долл. или выше чем 80 долл., швейному цеху необходимо будет пересмотреть суточную производственную программу, поскольку прежняя уже не будет обеспечивать максимального дохода. Здесь также ин-

69

тервальное неравенство рассматривается как нестрогое, поскольку в случае равенства цены на юбки крайним значениям интервала исходный план (про­изводить 12 юбок и 12 брюк) сохраняет свой статус как один из возможных оптимальных.

Таблица 1.12

				60	50	0	0	0	0
i	базис	С баз	Р0	Р1	Pi	Р3	Р4	Р5	Р6
1	Р6	0	6	0	0	2 3	2 3	0	1
2	Pi	50+τ2	12	0	1	1	1 −2	0	0
3	Ps	0	80	0	0	5 3	5 6	1	0
4	Р1	60	12	1	0	2 3	2 3	0	0
5			1320	0	0	10+ τ2	2 2	0	0

Следует обратить внимание на то, что в построении системы нера­венств каждый раз использовались математические выражения оценок, где

неизменной оставалась составляющая, не связанная с τ₁ (или τ₂ ), а добавля­лась компонента, состоящая из произведения τ₁ (или τ₂) на коэффициент,

соответствующий данному виду производственной деятельности (пошив брюк или юбок) в матрице А оптимальной симплекс-таблицы. При понима­нии этого факта единственно необходимой информацией для проведения по­стоптимального анализа является только и единственно расчетная таблица симплекс-процедуры.

70