27. Случайные погрешности

Случайные погрешности - погрешности, величина которых меняется случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины одним и тем же методом при помощи тех же приборов. Источником случайных погрешностей является неконтролируемая невоспроизводимость условий измерения. Например, во время измерения неконтролируемым образом может меняться температура, влажность, атмосферное давление, напряжение в  электрической сети, состояния органов чувств экспериментатора. Исключить случайные погрешности нельзя. При многократных измерениях случайные ошибки подчиняются статистическим законам, и их влияние можно учесть.

28. Формы описания законов распределения вероятностей случайной величины.

Интегральная функция распределения (функция распределе­ния) F(x) — это функция, определяющая вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше данного значе­ния x: F(x)=P(X<x). Из определения следует, что 0£F(x)£1, причем F(-оo)=0 и F(+oo)=l. Вероятность того, что значение случайной функции попадет в интервал (a, b), равна разности значений интегральной функции на концах интервала:

Дифференциальная функция распределения (плотность веро­ятности) f(x) — это первая производная от функции распреде­ления. График функции f(x) называют кривой распределения. Вероятность попадания Х в заданный интервал (a, b) равна

Геометрически эта вероятность равна площади криволиней­ной трапеции, ограниченной осью абсцисс, прямыми х = а и х == b и кривой распределения (рис. 1, а). Площадь под всей кривой равна единице.

Числовые характеристики случайных величин.

Мода Мо (X) — это значение Х_i с наибольшей вероятностью (или плотностью вероятности).

Медиана Me (X) — значение Хi, при котором площадь под кривой распределения делится пополам. В общем случае значения М(Х), Мо(Х), Me (X) могут не совпадать (рис. 1, б).

Дисперсия D (X) случайной величины X— это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее ма­тематического ожидания:

Среднее квадратическое отклонение s_x — это корень квадратный из дисперсии (является моментом второго порядка).

Математическое ожидание М(Х) (или т_x) — это среднее значение случайной величины Х из генеральной совокупности:

Рис. 1. Показатели несимметричности кривых распределения:

а — положительная ассиметрия;

б — отрицательная ассиметрия

29. Законы распределения случайных величин. Нормальный закон распределения

Закон распределения случайной величины Х — всякое соот­ношение, устанавливающее связь между возможными значения­ми x_i случайиой величины Х и соответствующими им вероят­ностями p_i . Его можно задать таблично, аналитически (форму­лами) или графически. В наиболее обобщенной форме закон распределения описывается с помощью интегральной функции распределения или дифференциальной функцией распределения.

1. Закон распределения Бернулли. Случайная величина , распределенная по закону Бернулли (индикаторная случайная величина), принимает значения: 1 – «успех» или 0 – «неудача» с вероятностями и соответственно

	0	1

 

Математическое ожидание случайной величины : .

Дисперсия: .

2. Биномиальный закон распределения. Случайная величина , распределенная по биномиальному закону, принимает значения: с вероятностями, определяемыми по формулам Бернулли:

 

	0	1	2	,,,		,,,

 

Математическое ожидание: .

Дисперсия: .

3. Закон распределения Пуассона. Случайная величина , распределенная по закону Пуассона, принимает бесконечное счетное число значений: , с соответствующими вероятностями, определяемыми по формуле Пуассона

,

где – параметр распределения Пуассона.

При и биномиальный закон распределения приближается к закону распределения Пуассона, где .

Математическое ожидание .

Дисперсия .

4. Геометрическое распределение. Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, ..., m, ... (бесконечное, но счётное множество значений) с вероятностями

P(X=m)=pqm-1, где 0<p<1, q=1-p, m=1, 2, ...

Ряд геометрического распределения имеет вид:

xi	1	2	3	...	m	...
pi	p	pq	pq2	...	pqm-1	...

Нормальный закон распределения.

Закон распределения Гаусса имеет место, когда случайная величина (например, размер после обработки, измеренный раз­мер и др.) является функцией большого числа независимых рав­нозначных факторов. Нормальное распределение имеет вид

где т_x и s_х — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соответственно. График плотности вероятности нормального распределения показан на рис. 3, а, а интегральная функция распределения — на рис. 3, б.