2. Взаимноепересечениеповерхностейгеометрическихтел

Архитектурныесооруженияиздания,различныефрагментыидеталиявляютсясочетаниемгеометрическихформ–призм,параллелепипедов,поверхностейвращенияиболеесложныхповерхностей,пересекающихсямеждусобой.Припроектированииивыполненииизображенийнапроекционныхчертежахнеобходимостроитьлиниипересеченияповерхностей.

Линияпересечениядвухповерхностей–этолиния,каждаяточкакоторойпринадлежитодновременнообеимповерхностям.Основной

способпостроениялиниипересеченияповерхностей–способвспомогательныхсекущихповерхностей(плоскостей)или,иначеметодпосредников.Этотспособаналогиченпостроениюлинии

пересеченийдвухплоскостейобщегоположения.

3. Свойствопроецирующейповерхности

Теорема: Если одна из проекций линии, принадлежитпроецирующейповерхности,тодругаяпроекциялиниисовпадаетсоследомэтойповерхности(рис.83).

Рис.83

4. Частныеслучаипересеченияповерхностей

Существуютдваслучаячастногопересеченияповерхностей:

1. Обепересекающиеся поверхности–проецирующие.

Вэтомслучаепроекциилиниипересеченияповерхностейбудутсовпадатьссоответствующимиследамизаданныхповерхностей.

Задача.ПостроитьлиниюпересечениядвухплоскостейΣиГ

(рис.84).

Решение:

ПлоскостьΣявляетсягоризонтальнопроецирующей,аплоскостьГфронтальнопроецирующей,следовательно,линияпересеченияданныхповерхностейсовпадаетссоответствующимиследамиданныхплоскостей.

Рис.84

2. Одна из пересекающихся поверхностей –проецирующая.

Вданном случаеоднапроекциялиниипересеченияначертежеуже

присутствует,втораяпроекциялиниипересечениястроитсяизусловияпринадлежностиэтойлиниидругойпересекающейсяповерхности.

Задача. Построить линиюпересечения пирамиды Г сфронтальнопроецирующей плоскостьюΣ(рис. 85).

Решение:

Припересечениипирамидыфронтальнопроецирующейплоскостью,всеченииобразуетсятреугольник∆123.

Рис.85

Задача. Построить линию пересечения поверхностипризмыГсконусомΣ(рис.86).

Решение:

Трибоковыегранипризмыявляютсяфронтальнопроецирующимиплоскостями,следовательно,построениелиниипересечениясводитсякрешениюзадачинапересечениеповерхностипроецирующейсекущейплоскостьюипрямойлинией.Линияпересеченияданныхповерхностейпредставляетсобойломануюлинию,состоящуюизтрехплоскихкривых.Гранипризмыпересекаютповерхностьконусапоокружности,неполномуэллипсуинеполнойпараболе.Вданномслучаевспомогательнымиплоскостямиможнонепользоваться,таккакфронтальныепроекцииточеклиниипересеченияизвестны.ГоризонтальныепроекциилинийпересечениястроимпоточкамспомощьютрехпараллелейконусаI,II,III,проведенныхчерезхарактерныеточкилиниипересечения–1₂,2₂,3₂,.Промежуточнаяточка4₁,4_{2выбрана}посерединеотрезкаa_2b2,которыйявляетсябольшойосьюэллипса.Одновременноопределяетсяидополнительнаяточка5₂

Рис.86

5. Общийслучайпересеченияповерхностей

Вэтомслучаеобепересекающиесяповерхностизанимаютобщееположениевпространствеотносительноплоскостейпроекций.Задачирешаютсяспомощьюпосредников,вкачествекоторыхмогутприменятьсяплоскостичастногоиобщегоположения,атакжесферическиеповерхности.Видпосредниковвыбираетсятак,чтобылиниипересечениясданнымиповерхностямибылинаиболеепростымиипростостроилисьначертеже.Ктакимлиниямотносятсяпрямыеиокружности.

Предположим,пересекаютсядвеповерхностиΣиГ(рис.87).ВкачествепосредникавыбираемплоскостьгоризонтальногоуровняР,котораяпересекаетповерхностьΣпокривойm,аповерхностьГ–покривойn.Этилиниивсвою очередьтакжепересекаютсявточкахКиL,принадлежащиходновременнотремповерхностям(Σ,ГиР),аследовательно,илиниипересеченияповерхностейΣиГ.Аналогичноможетбытьнайденолюбоечислоточеклиниипересеченияповерхностей.Определивуказаннымприемомнеобходимоеколичествоточекисоединивихвопределеннойпоследовательностисучетомвидимости,получимискомуюлиниюпересеченияповерхностей.

Построение линии пересечения поверхностей начинают сопределения, так называемых, характерных ее точек

(экстремальных)–наивысшей,наинизшейиточекпереходавидимости,отделяющихвидимуючастьлиниипересеченияотневидимой,находящуюсязаочерковойобразующейповерхности.

Рис.87

Задача. Построить линию пересечения поверхностей (скатовкрыши,стен)основногозданияипристройки(рис.88).

Решение:

Геометрический смысл задачи сводится к построению линиипересеченияповерхностейдвухпризм.

Дляпостроенияточек1,2,3,4пересеченияреберЕ иF(карнизапристройки)споверхностьюпризмы(крышаосновногоздания),проведемвспомогательнуюсекущуюплоскостьΣ(Σ_П2П₂)черезточкиЕ,F.ЛинияK,L,M,NпересеченияΣсповерхностьюкрышипостроенапоточкамK,L,M,NпересеченияреберА,В,С,DэтойкрышисплоскостьюΣ.

Рис.88

ТочкипересечениягоризонтальныхпроекцийЕ_1иF_1реберсгоризонтальнойпроекциейК₁,L₁,M₁,N_1линиипересечения являютсягоризонтальнымипроекциями1₁,2₁.3₁,4_{1искомых}точек.ФронтальныепроекцииэтихточексовпадаютсфронтальнымипроекциямиЕ_2иF_2ребер.

Точки5,6,7,8пресеченияреберкрышипристройкискрышей

основногозданияпостроеныаналогично(вспомогательнаясекущаяплоскостьГ(ГП₂).

Построениеточек9и10пересеченияконькаАСкрышиосновного

зданияскрышейпристройкивыполненонепосредственно,таккаккрышапристройкиявляетсяфронтальнопроецирующейпризматическойповерхностью.

Построениеточки11пересечениякарнизаосновногозданиясостенойпристройкивыполненокакпостроениеточкипересечения

прямойспрофильнойплоскостьюуровня.

Задача Построить линиюпересечения поверхностипрямогокруговогоконуса∑сплоскостьюобщегоположенияГ,заданнойследами(рис.89).

Решение:

Рис.89

Определяемтакназываемыеэкстремальные(характерные)точки:а)наивысшаяинаинизшаяточки плоскостиобщегоположения

лежатналиниинаибольшегоската(ЛНС),котораядолжнабытьвсегдаперпендикулярнагоризонталиплоскости.Горизонтальныйследплоскостиявляетсягоризонталью,т.е.ЛНСдолжнабыть

перпендикулярнаГ_П1;Ω–посредник.Ω_П1Г_П1.

• ЧерезвершинуконусаS_{1проводим}Ω_П1Г_П1,накоторойлежатнаивысшаяинаинизшаяточки,принадлежащиеконусу;

• Определилидвеобразующиеконуса (S– 1)и(S–2);

• ПлоскостьпосредникΩ_{П1пересекает}иследплоскостиГ,строимлиниюпересеченияМ_1N1иМ_2N2;

Такимобразом,определили:

(S_1–1₁)∩MNточка3 (наинизшая),(S_1–2₁)∩MN т.4(наивысшая).

б)точкипереходавидимости.

Рассечемконуспосредником–плоскостьюфронтальногоуровняФ_П1(т.е.Ф_П1≡f_1),следкоторогопроходитчерезосьсимметрииконуса:

• НаходимлиниюпересеченияплоскостиФсобразующимиконуса:(S_1–5₁)и(S_1–6₁);

• ПлоскостьпосредникпересекаетследплоскостиГпофронтали, через точкуLстроимфронталь;

• Нашлиобщиеточки7и8,которыеиявляютсяточкамипереходавидимостилиниипересеченияповерхностей.

Определимдополнительныепромежуточныеточки:

• Дляэтогоиспользуемплоскостьгоризонтальногоуровня:междуточкамими3_2и4_{2произвольно}проведемфронтальнопроецирующуюплоскостьθ;

• Даннаяплоскостьθпересекаетконуспоокружности(параллели),которуювплоскостиП_1иописываем;

• ЛиниейпересеченияплоскостиθсГ_{П2является}горизонталь,которуюстроимпоточкеК;

• Определилиточки9_1и10₁,принадлежащиелиниипересеченияконусаиплоскостиГ;

Итак,соединяемвсенайденныеточкисучетомвидимости.Такимобразом,построилилиниюпересечениядвухповерхностей,котораяявляетсяэллипсом.

Даннуюзадачуможнотакжерешатьспособомпреобразования

чертежа(заменойплоскостипроекцийП_2наП_4Г_П1).

Задача Построитьлиниюпересеченияповерхностейпризмыиусеченногокруговогоконуса(рис.90).

Решение:

Рис.90

Для построениялиниипересеченияповерхностей,используемвспомогательные секущиеплоскости∑_П2,Г_П2иψ_П2.

• Итак, проводимплоскость∑черезребропризмыС;

• Строимлиниюпересеченияпосредника∑споверхностьюконуса,этопараллель радиусаR;

• Призмуэтажеплоскость рассекаетпоребруС;

• Определилиобщуюточку–точка1;

• Далеепроводимвторуюплоскостьпосредник–Гивыполняемтежедействия,т.е.строимлиниипересеченияпосредникасконусом(параллель)испризмой(образующиеNиL).Определилиточки2и 3;

• Такжестроятсяточки4,5,6,7.

• Все найденные точки линии пересечения поверхностейсоединяютмеждусобой сучетомвидимости.