48. Дискретные случайные величины. Закон распределения. Функция распределения, ее свойства.

Дискретная случайная величина (ДСВ) может принимать конечное или бесконечное счетное число (изолированных) значений. Например, можно рассмотреть случайную величину – число точек на грани игрального кубика, выпадающее при его подбрасывании.

Законом распределения дискретной случайной величины называется соотношение между ее возможными значениями и их вероятностями (т. е. вероятностями, с которыми случайная величина принимает эти возможные значения).

Функцией распределения (интегральной функцией распределения) случайной величины называется функция

 

,

определяющая вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее .

Свойства функции распределения:

а) функция распределения принимает значения только из отрезка [0,1]:

0 ≤ F(x) ≤ 1;

б) F(x) – неубывающая функция, т.е. если x₂ > x₁, то F(x₂) > F(x₁) ;

в) F(- ∞ ) = 0; F(+ ∞) = 1;

г) вероятность того, что случайная величина примет значение из

интервала (причем ), равна:

  ;

 д) F(x) непрерывна слева, т. е. F(x) = F(x – 0)

Закон распределения дискретной случайной величины может быть представлен в виде многоугольника распределения – фигуры, состоящей из точек , соединенных отрезками

49. Числовые характеристики дискретной случайной велечины.

Пусть дана случайная величина  а  . Если ряд   сходится абсолютно, то его сумма  называется математическим ожиданием (м.о.) с.в.  .

Свойства математического ожидания:

1. [ ] =  , где   - const;

2. [ ] =  [ ];

3. [X   Y] =  [ ]  [ ];

4. [X Y] =  [ ]  [ ], где   и   - независимые с.в.

Случайные величины   и   называются независимыми, если для любых  ,   имеет место равенство  .

Модой   д.с.в. называется ее наиболее вероятное значение.

Медианой   ряда значений   <   <...<  , которые с.в.   принимает с вероятностями  ,  , ...,   соответственно, называется значение   с таким индексом  , что   и   Это означает, что приблизительно одинаково вероятно, продолжится ли процесс после медианы или закончится до нее.

Если математическое ожидание с.в.   существует, то оно называется начальным моментом  [ ] порядка   с.в.  :

Начальные моменты, мода и медиана являются характеристиками положения случайной величины.