Ответы по математике:

Функция. Способы задания функции. Область определения и область изменения функции.

1. Соотношение между двумя множествами Х и У, при котором каждому элементу множества Х найдется единственный элемент мно-ва У называется функцией.

2. Способы задания функции:

А) табличный-значения функции и переменной задаются в виде таблицы

Б) графический- функция задается в виде графика

В) аналитический- функция задается в виде формулы

Г) описательный-св-ва функции описывается словесно

1.3. Областью определения называется мн-во значений переменной Х, при которой фун-ции принимают действительное значение.

Областью значения называется мн-во значений, которая принимает сама функция.

2. Предел функции. Теоремы о пределах. Односторонние пределы функции.

   1. приделом функции у=f(x), при x стремящимся к х0 называется число А, если для сколь угодного малого числа найдется положительное

дельта, что как только выполнится одно неравенство автоматически выполняется второе.

2.2. Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.

Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.

Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).

Теорема. 4. Если u(x)  z(x)  v(x), и lim_x a u(x)=lim_x a v(x)=b, то lim_x a z(x)=b. ("Теорема о двух милиционерах").

2.3 предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны.

3. ﾍепрерывность функции в точке. Классификация разрывов функции.

   1. функция называется непрерывной в точке, если предел функции при Х стремящимся к Х0 равен значению функции в этой точке. Функция назыв непрерывной в точке, если существует конечные односторонние пределы функции, они равны между собой, и равны значении функции в данной точке.

   2. Разрывы бывают

1 рода 2 рода

не устранённые устраненные

Точка Х0 называется точкой не устранённого разрыва 1 рода, если существуют конечные односторонние пределы f , но они не равны между собой.

Точка Х0 называется точкой устраненного разрыва 1 рода, если существуют конечные односторонние пределы, они равны между собой, но не равны значения функции.

Точка Х0 называется точкой разрыва 2 рода, если хотя бы один из односторонних пределов функции

4. Элементарные правила раскрытия неопределенностей при вычислении пределов.

1. если Если отношение двух многочленов есть отношение двух бесконечно больших функций , то надо чиститель и знаменатель разделить на переменную в старшей степени. Следствие-если многочлены числителя и знаменателя одной и той же степени, то предел отношений равен отношению коэффициента при старших степенях

2. а)Если отношение двух многочленов есть отношение двух бесконечно мылых функций то надо числит и знаменатель разделить на линейные множители и дробь сократить

б) если один из множетелей иррациональной функции, то надо и числитель и знаменатель умножить на выражение сопряженное иррациональному

3. С помощью тождественных преобразований данный вид неопределенности надо свести к 1 или 2

5. Первый замечательный предел

(и наоборот)

6. ﾂторой замечательный предел

7. ﾏроизводная функция. Задача Ньютона.

Произво́дная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием.

8. Механический, геометрический смысл производной функции

Механический смысл производной:

1.скорость неравномерного прямолинейного движения точки равна S(t)-производная пути во времени

V(t)=S’(t)=ds/dt

2. ускорение неравномерного движения точки равно V’(t)-производная скорости от времени или второй производной пути по времени

a(t)=V’(t)+dv/dt=S’’(t)

3. Сила переменного тока равна производной количества электричества по времени

J(t)=Q’(t)=dQ/dt

Геометрический смысл:

ﾎпределение- производной функции y=f(x) назыв предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда преращение аргумента стремится к 0 производным способом

9. Уравнение касательной и нормали.

Нормалью кривой называется прямая перепенлик касательной, проведенной к графику данной функции в данной точке.

y−f(x0)=f/(x0)(x−x0) , или

y=f/(x0)·x+f(x0)−f/(x0)·x0. 

10. Правила и формулы дифференцирования

Если с - постоянное число, и u = u(x), v = v(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) (с) ' = 0, (cu) ' = cu';

2) (u+v)' = u'+v';

3) ( uv )' = u'v+v'u;

4) (u/v)' = (u'v-v'u)/v ^2;

5) если y = f(u), u = j (x), т.е. y = f( (x)) - сложная функция, или суперпозиция, составленная из дифференцируемых функций и f, то , или

;

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), причем   0, то .

11. Производная сложной функции.

ﾏроизводная сложной функции по независимой переменной равна произведению производной функции по промежуточной переменной на произведение промежуточной переменной по независимой.

12. Производная неявно заданной функции.

Чтобы найти производную неявно заданной функции, необходимо продифференцировать обе части равенства по аргументу x, считая y – функцией от x, и после этого выразить .

13. Первая, вторая производные параметрически заданной функции.

Дифференцирование по переменной будем обозначать подстрочным значком (это обозначение общепринято). Тогда используя правила дифференцирования сложной функции и дифференцирование обратной функции, получим формулы для первой производной

для второй производной

14. ﾄифференциал функции и его вычисление.

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ'(х)•∆х

15. Правила Лопиталя

Правило Бернулли-Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

16. ﾏроизводные и дифференциалы высших порядков.

Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции   в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1) то есть

  .

17. Признаки возрастания и убывания функции. Экстремумы функции.

Достаточное условие возрастания или убывания функции выражается следующей теоремой.

Теорем. Если на данном промежутке производная положительна, то функция возрастает в этом промежутке; если производная функции отрицательна, то функция убывает.

Замечание. Теорема имеет простой геометрический смысл. Если в некотором промежутке касательная к графику функции у = f(x) образует с осью Ох острый угол a (tg а > 0), то функция возрастает в этом промежутке (а). Если касательная к графику образует с осью Ох тупой угол a (tg а < 0), то функция убывает

Экстре́мум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

18. Изогнутость графика функции. Точки перегиба.

точки через которые функция меняет выпуклость на выгнутость, а вторая производная меняет свой знак назыв точками перегиба.

19. Асимптоты кривой.

Асимптоты бывают:

А)вертикальные x=a, если точка x=a является точкой разрыва 2 рода, т.е. lim стремится к бесконечности

Б)наклонные y=kx+b

В) горизонтальные y=b

Замечание: вертикальные и горизонтальные асимптоты строят пунктирными линиями и никогда график функции их не пересекают, а наклонные асимптоты

20. Наибольшие и наименьшие значения функции на отрезке.

Наибольшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство . Наименьшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство .

21. ﾏервообразная и неопределенный интеграл и его свойства.

Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция F(х), производная которой равна данной функции где F'(x) = f(x). Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx - подынтегральным выражением.

F'(x) = f(x)

Неопределённый интегра́л для функции  — это совокупность всех первообразных данной функции.

1°. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

2°. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

3°. Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если k = const ≠ 0, то

4° . Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности.

22. Простейшие приемы интегрирования.

1.табличное интегрирование-непосредственное применение таблицы неопределенных интегралов

2.способ разложения-непосредственное применение 4 св-ва(интеграл от алгебраической суммы, конечного числа слагаемых равен алгебраической сумме интегралов от каждого слагаемого)

3.метод подведения под знак дифференциала в тождественное преобразования подынтегрального выражения и приведения его к табличному виду.

23. Метод интегрирования по частям

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций

24. Метод замены переменной

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.

Один из способов интегрирования – метод замены переменной – реализуется с помощью формулы

здесь переменная интегрирования х была заменена на новую переменную, t, с помощью (непрерывно дифференцируемой) функции х = φ(t).

25. Задача, приводящая к понятию определенного интеграла

о площади криволинейной трапеции, о массе стержня и о перемещении точки.

26. Определенный интеграл и его геометрический смысл, свойства

26.1Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке ab называется число равное пределу n-ой интегральной суммы когда наибольшее из частичных отрезков разбиения стремится к нулю, при n стремящейся к бесконечности:

26.2

Определённый интеграл   численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми   и   и графиком функции  .

27. Формулы Ньютона-Лейбница. Правило вычисления определенного интеграла

Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a).

28. Метод замены переменной в определенном интеграле

Пусть:

1) f(x) определена и непрерывна на [a, b];

2) x = g(t) определена и непрерывна вместе с производной

на [, ], где g() = a, g() = b

и a ≤ g(t) ≤ b.

Тогда

29. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Если u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на [a, b], то

,

или

30. Св-ва определенного интеграла для четной и нечетной функции на симметричном промежутке

Если функция интегрируема на промежутке ,

то для чётной функции ,

а для нечётной функции .

31. Геометрическое приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур

1. Пусть функция   непрерывна и неотрицательна на отрезке [a, b]. Тогда площадь фигуры, ограниченной осью ОХ, отрезками прямых x = a, x = b и графиком функции  , может быть вычислена по формуле   (см. 10.1 рис. 1).

2. Если   на отрезке [a, b],    непрерывные функции, то площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, x = b, графиками функций   вычисляется по формуле   

3. Если функция   на отрезке [a, b] принимает значения разных знаков, то площадь фигуры, заключенная между кривой   и осью  , равна   

Пусть функция f (х)  непрерывна на отрезке [a ; b].  Если при этом f (х) ≥ 0 на [a ; b], то  площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями  ,  выразится с помощью интеграла:     (1) 

Если же f (х) ≤ 0 на [a ; b], то −f (х) ≥ 0 на [a ; b].  Поэтому площадь S соответствующей  криволинейной трапеции находится по формуле    или     (2)  

Наконец, если линия у = f (х) пересекает ось Ох, то отрезок [a ; b] надо разбить на части, в  пределах которых f (х) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул (1) или (2),  которая ей соответствует

32. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Определение дифференциального уравнения, его свойства.

Дифференциальные уравнения связывают между собой неизвестную функцию (или несколько таких функций) с её производными.

Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестной величиной является функция одной или нескольких аргументов и входит в уравнение под знаком производной, а также без знака производной. 

1.

2.

3.

4.

5.

33. Частное и общее решение. Частный и общий интеграл. Задачи Коши.

Частным решением дифференциального уравнения на интервале   называется каждая функция  , которая при подстановке в уравнение вида

обращает его в верное тождество на интервале  .

Зная общее решение однородного дифференциального уравнения и любое частное решение неоднородного уравнения, можно получить общее решение неоднородного уравнения в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.

Общее решение дифференциального уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке вдифференциальное уравнение вида

обращает его в тождество.

Если каждое решение дифференциального уравнения представимо в виде:

где   — конкретные числа, то функция вида

при всех допустимых значениях параметров (неопределённых констант)   называется общим решением дифференциального уравнения.

Пусть   определена на  . Разобьём  на части с несколькими произвольными точками   Тогда говорят, что произведено разбиение   отрезка   Далее выберем произв. точку ,  ,

Определённым интегралом от функции   на отрезке  называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю  , если он существует независимо от разбиения   и выбора точек  , т.е.

Если существует указанный предел, то функция   называется интегрируемой на   по Риману.

Общим интегралом дифференциального уравнения называется общее решение этого уравнения записанное в неявном виде:

Ф(x,y,c)=0

Частным интегралом дифференциального уравненияназывается частное решение уравнения записываемое в неявном виде:

Ф(x,y,c₀ )=0.

34. Дифференциальное уравнение с разделенными переменными и его решение.

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида:

f1(x)dx=f2(y)dy,     (1)

которое называется уравнением с разделенными переменными. Пусть найдено некоторое его решение y(x). При подстановке y=y(x) в дифференциальное уравнение (1) оно обратится в тождество и, интегрируя его, имеем

∫f1(x)dx=∫f2(y)dy+C,    (2) 

где C - произвольная постоянная. Получили уравнение (2), которому удовлетворяют решения дифференциального уравнения (1). Обратно, каждое решение y(x) уравнения (2) является и решением исходного дифференциального уравнения (1), так как если y(x) обращает в тождество уравнение (2), то, дифференцируя это тождество, получим, что y(x) обращает в тождество и уравнение (1). Следовательно, равенство (2) содержит все решения дифференциального уравнения (1) и оно называется общим интегралом уравнения (1). Из него при определенных условиях можно выразить y от x или x от y. Если надо выделить частное решение, удовлетворяющее условиям: y=y0 при x=x0, то таким решением является равенство

∫xx0f1(t)dt=∫yy0f2(t)dt,

так как оно содержится в общем интеграле (2) и удовлетворяет начальным условиям.