Анализ решения задачи

Из уравнения имеем равенство

,

умножив которое на n, получим:

ЛЧ – затраты на хранение запасов;

ПЧ – затраты на пополнение запасов.

То есть оптимальный объем партии определяется точкой пересечения графиков функций затрат С₁ и С₂.

Вывод: минимальное значение суммарных затрат в рассматриваемой задаче оптимального управления запасами достигается, когда затраты на создание запаса на [0, θ] равны затратам на хранение запаса на [0, θ].

Оптимальные суммарные затраты

Рассмотрим функцию затрат:

.

Так как в точке оптимума слагаемые должны быть равны, то минимальные затраты:

(а)

или

(б)

Рассмотрим (а), где используем формулу Вильсона для n^*:

.

Аналогично имеем из равенства (б):

Учитывая, что получим

Число оптимальных партий

Замечание: Если , то можно подкорректировать так:

.

Время расходования оптимальных партий

Пример: Имеется сборочный цех, потребность которого составляет 120 000 деталей в год. Они расходуются равномерно и непрерывно во времени. Заказываемые партии деталей поступают через равные промежутки времени. Хранение одной детали на складе стоит 0,35 рублей в сутки. Поставка одной партии деталей стоит 10 000 рублей. Требуется найти наиболее экономичный объем партии n^* и интервал между поставками T^*.

Решение. Исходные данные σ₁ = 10 000 руб., σ₂ = 0,35 руб., θ = 365 дней, N = 120 000 деталей. Оптимальный объем партии по формуле Вильсона:

деталей.

Тогда

дней.

Замечания. В условиях реального производства обычно объем партии несколько завышают и выражают в «круглых цифрах». В рассмотренной задаче можно взять n^* = 4500. В этом случае T^* тоже изменится (возрастет). Возникает вопрос: насколько при этом увеличится величина суммарных затрат на поставку и хранение заказа?

2. 1. 3. Чувствительность функции затрат к размеру партии

Разложим функцию затрат C(n) в ряд Тейлора в окрестности точки n^*:

где

- приращение объема партии,

Так как

то

О

бозначив , тогда

Вернемся к примеру.

а) Положим n = 4500 (n^* = 4335), n = 165.

(3,8 %),

(0,07%).

б) Положим n = 5000 (n^* = 4335), n = 665.

(15,3 %),

(1,2 %).

Вывод: Из приведенных расчетов видно, что функция затрат в окрестности оптимальной точки n^* мало чувствительна к погрешностям округления.

2. 2. Статическая детерминированная задача управления запасами с дефицитом

В этой задаче изменение уровня запаса выглядит следующим образом:

На отрезке [0, T₁] происходит расходование запаса с постоянной интенсивностью b. На отрезке [T₁, T] накапливается дефицит.

Введем обозначения:

T₂ = T – T₁, T₁ =

T₂ = T₁ + T₂ = T.

2. 2. 1. Функция суммарных затрат

Обозначим функцию затрат C, она состоит из трех частей:

C₁ – затраты на пополнение запаса,

C₂ – затраты на хранение запаса,

C₃ – штраф за дефицит.

1. Затраты на пополнение запаса.

2. Затраты на хранение запасов. Затраты на хранение на [0, T₁]:

где

Общие затраты на хранение:

3. Штраф за дефицит на 1 единицу продукции, используемой в 1 единицу времени, обозначим

Поэтому штраф за дефицит на [T₁, T] равен:

.

Суммарный штраф за дефицит:

Минимум C(n, s) найдем, приравнивая к нулю частные производные по n и s.

1)

2)

Упростим уравнения (1) и (2), первое умножим на , а второе на :

Выражаем из второго уравнения s:

Обозначив , получим:

Подставим это выражение в первое уравнение:

Определение: Величина называется плотностью убытков из-за неудовлетворенного спроса.

Для максимального уровня запаса получим формулу:

Замечание: Если , т.е. , то задача оптимального управления запасами с дефицитом превращается в задачу управления запасами без дефицита (при ).

Выясним смысл коэффициента .

Так как то

Вывод: Коэффициент  обозначает долю времени работы предприятия без дефицита; ( ) – доля времени работы с дефицитом.