2. 1. Статическая детерминированная модель управления запасами без дефицита

Поскольку нет дефицита, то спрос полностью удовлетворяется, то есть расходуется запасаемого продукта столько, каков на него спрос. Поэтому

Предположение. Расходование происходит с постоянной интенсивностью b(t) = b, до тех пор, пока запас не будет исчерпан, после чего запас пополняется.

Обозначим:

[0, θ] – отрезок времени работы предприятия, например год.

N – общее потребление запасаемого продукта на [0, θ].

Тогда интенсивность расходования запаса:

Предположение:

1. Начальный момент времени 0.

J₀ = n (начальный запас n),

2. Пополнение запаса происходит партиями одинакового размера n после исчерпания запаса.

Обозначим

Ф ункция пополнения запаса A(t) выглядит следующим образом:

Интенсивность пополнения запаса в силу скачкообразности A(t) выражается через обобщенную функцию: δ - функцию Дирака.

,

где k = 1, 2, …

δ - функция Дирака имеет свойства:

Часто используется следующая аппроксимация δ – функции.

t

.

В рассматриваемой задаче размер запаса во времени имеет вид:

На [0, T] - функция запаса. Аналогично на [T, 2T], …

2. 1. 1. Формулировка и решение задачи

Введем обозначения:

С₁ – затраты на создание запаса на [0, θ],

C₂ – затраты на хранение запаса на [0, θ].

Тогда суммарные затраты на [0, θ] будут:

С = С₁ + С₂.

σ₁ – затраты на доставку 1 партии заказа (не зависит от размера партии).

σ₂ – затраты на хранение 1 единицы заказа в 1 единицу времени.

Найдем число заказываемых партий:

где N – суммарная потребность комплектующих (материалов).

Замечание. Объем заказа n должен быть таким, чтобы число заказов партий было целым, то есть

Найдем компоненты суммарных затрат:

1. Затраты на создание запаса.

на [0, θ].

2. Затраты на хранение запаса.

Рассмотрим затраты на хранение запаса на [0, T]. Найдем затраты на хранение имеющегося запаса в 1 единицу времени. Это

Суммарные затраты на [0, T] получаются следующим образом:

Суммарные затраты на хранение запасов на [0, θ] равны

Итак, функция суммарных затрат:

Математически задача оптимального управления запасами записывается так:

Замечание. В действительности затраты на доставку заказа обычно зависят от объема партий, например, линейно, поэтому для учета этих затрат введем обозначение:

- затраты на доставку 1 единицы заказываемой продукции. Тогда затраты на доставку одной партии объема n будут . Суммарные затраты получатся путем умножения на число партий: В этом случае функция затрат будет иметь вид:

То есть добавляется в старую функцию затрат некоторая const.

2. 1. 2. Формула Вильсона (Уилсона)

График функции затрат имеет вид:

Оптимальное значение n найдем следующим образом. Вычислим производную и приравняем к 0:

Из этого уравнения следует, что

где

(*)

Определение. Формула (*) называется формулой Вильсона (Уилсона) или формулой наиболее экономичного объема партии.

Замечание. Решение оптимизационной задачи должно учитывать условие

,

если то на практике изменяют n^* до величины n^** так, чтобы

Полагаем

Окончательный объем партии будет таким: