Временные параметры сетевых графиков

В сетевом графике события i, работы (i, j) и продолжительности путей L характеризуются рядом временных параметров.

События i:

– ранний срок свершения события i;

– поздний срок свершения события i;

– резерв события i;

Работа (i, j):

- продолжительность работы (i, j);

– ранний срок начала работы (i, j);

– ранний срок окончания работы (i, j);

– поздний срок начала работы (i, j);

– поздний срок окончания работы (i, j);

полный резерв времени работы (i, j);

- частный резерв времени работы (i, j) первого вида;

- частный (свободный) резерв времени работы (i, j) второго вида;

- независимый резерв времени работы (i, j);

Путь L:

– продолжительность (длина) пути L;

- длина критического пути (критическое время);

– резерв времени пути;

Вычисление временных параметров

1. События.

1.1. Ранний срок свершения события Событие i не может наступить раньше, чем завершатся все предшествующие работы, поэтому ранний (ожидаемый) срок свершения события i t_p(i) определяется как продолжительность максимального пути, предшествующего этому событию.

Т.е.

,

где – путь, предшествующий событию i, т.е. путь от исходного события 0 до i.

В частности , , где N – завершенное событие.

В вычислительном отношении удобнее пользоваться другой (рекуррентной) формулой.

Начальное условие: .

1.2. Поздний срок свершения события i. Некоторая задержка события i по сравнению с может не сказаться на сроке завершающего события, т.е. на времени выполнения проекта. Обозначим максимально возможную задержку через – это резерв времени события i. Тогда

.

Справедливо следующее соотношение. Параметр должен удовлетворять условию. Критическое время находится следующим образом:

где – путь, следующий за событием i, и заканчивающийся завершающим событием N. Для вычислительных целей более экономичной является рекуррентная формула:

.

Краевое условие: .

1.3. Резерв времени R(i) события i. Вычисляется эта величина по формуле:

R(i) = - .

Резерв времени R(i) показывает, на какой отрезок времени можно задержать наступление события i, чтобы это не увеличило срок выполнения проекта.

Замечание. Критические события резервов времени не имеют.

Пример: найти временные параметры событий и критический путь для рассмотренного выше сетевого графика , , , R(i) (i= ).

Решение:

I. Для вычисления раннего срока события будем пользоваться формулой:

.

Начальное условие

0. ;

1. = +t(0,1)=0+8=8;

2. = +t(1,2)=8+9=17;

3. =max{ + t(0,3); +t(1,3)}=max{13,12}=13;

4. =max{ + t(1,4); +t(3,4)}=max{14,23}=23;

5. =20;

6. =29;

7. =33;

8. =37;

9. =41;

10. =47;

11. =60.

II. Поздние сроки свершения событий. Пользуемся формулой:

.

Краевое условие .

11) = 60;

10) = - t(10,11) = 60 - 13 = 47;

9) = min( - t(9,10); - t(9,11)) = min(41;43) = 41;

8) = - t(8,9) = 37;

7) = - t(7,10) = 47 – 5 = 42;

6) = 29;

5) = 20;

4) = 26;

3) = 13;

2) = 39;

1) = 9;

0) = 0.

После выполнения расчетов результаты заносятся в таблицу.

№ события	Сроки свершения события		Резерв R(i)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	0 8 17 13 23 10 29 33 37 41 47 60	0 9 39 13 26 20 29 42 37 41 47 60	0 1 22 0 3 0 0 9 0 0 0 0

1. Временные параметры работ.

1. Ранний срок начала работы - совпадает с ранним сроком свершения события i:

2. Ранний срок окончания работы - получается путем прибавления к раннему сроку начала работы продолжительности работы (i, j).

3. Поздний срок окончания работы - так как ни одна работа не может быть закончена позже последующего за ней события, то поздний срок окончания работы

4. Поздний срок начала работы - чтобы найти поздний срок начала работы нужно из позднего срока окончания работы вычесть продолжительность работы

2. Резерв времени.

1. Резерв времени пути L равен разности между длиной критического пути и пути L:

R(L) = - t(L).

2. Полный резерв времени работы (i, j)

Полный резерв времени работы показывает, насколько можно увеличить выполнение данной работы, чтобы это не привело к увеличению срока выполнения всего проекта. То есть

Замечание. Полным резервом можно воспользоваться только в случае, когда событие i произойдет в ранний срок , а событие j произойдет в поздний срок .

3. Частный резерв времени первого вида

Частный резерв времени первого вида - это часть полного резерва и времени, на которой можно увеличить продолжительность работы (i, j), если событие i произойдет в поздний срок .

Таким образом,

Установим связь между полным резервом и частным резервом первого вида

,

4. Частный резерв времени второго вида (свободный резерв).

Частный резерв времени второго вида (свободный резерв) – часть полного резерва времени, на которой можно увеличить продолжительность работы (i, j), если событие j свершится в ранний срок .

Таким образом,

.

Покажем связь между свободным и полным резервом времени

,

Замечание. Свободным резервом времени можно воспользоваться для устранения возможных последствий задержек времени выполнения работы (i, j). Для этого работу нужно начинать в ранний срок .

5. Независимый резерв времени.

Независимый резерв времени - часть полного резерва времени, на который можно увеличить продолжительность работы (i, j), если событие i свершится в поздний срок , а событие j свершится в ранний срок .

.

Замечание. В отличие от других резервов времени может оказаться отрицательной величиной.

Получим связь между свободным и независимым резервом

,

.

Задание: получить связь с частным резервом времени и .

Замечания:

1. Важным свойством независимого резерва работы (i, j) является то, что использование этого резерва не влияет на величину продолжительности других работ;

2. Независимые резервы работ используют тогда, когда окончание предыдущей работы произошло в поздний срок;

3. Если , то фактически независимого резерва нет.

Некоторые выводы:

1. Частный резерв времени первого вида можно использовать для увеличения продолжительности данной работы (i, j) и последующих работ без затрат резервов времени предшествующих работ.

2. Свободный резерв времени можно использовать для увеличения продолжительности работы (i, j) и предшествующих работ без нарушения резерва времени последующих работ.

3. Независимый резерв можно использовать только для увеличения продолжительности работы (i, j).

4. Работы, лежащие на критическом пути резервов времени не имеют.

5. Если на критическом пути лежит событие i, то . В этом случае .

6. Если на критическом пути лежит событие j, то . В этом случае .

7. Если на критическом пути лежат оба события i и j, то . Если при этом сама работа не лежит на критическом пути, то > 0. Если (i, j) лежит на критическом пути, то = 0.

Пример: рассчитать временные параметры работ для рассмотренного выше сетевого графика.

Решение:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .