19. Одностороння неперервність.

Функція називається неперервною зліва (справа) в точці , граничній для множини , якщо .

20. Точки розриву, їх класифікація.

Нехай , - гранична точка множини . Якщо , то точка називається особливою для функції .

Точки розриву та особливі точки функції , які є граничними одночасно для обох множин та , поділяються на такі типи:

1)	і або не існує, або ; тоді точка називається точкою усувного розриву;
2)	, і називається точкою розриву першого роду; число називається стрибком функції у точці ;
3)	Всі інші точки називають точками розриву другого роду.
3.1)	Інколи випадок точки розриву другого роду , для якого називають точкою розриву другого роду типу полюсу.

21. Особливі точки розриву функції

Нехай , - гранична точка множини . Якщо , то точка називається особливою для функції .

Інколи випадок точки розриву другого роду , для якого називають точкою розриву другого роду типу полюсу.

22. Розриви монотонної функції.

Теорема 4.	(Односторонні границі монотонної функції).
	Кожна монотонна функція має односторонню границю в будь-якій граничній точці множини .

Доведення. Нехай - неспадна, - гранична точка , припустимо, що є граничною для множини . Позначимо . Так як , то . Якщо , то і : . Тоді : . Аналогічно для , розглядаємо . Так само все робиться, якщо є граничною точки множини , і якщо - незростаюча.

Теорема доведена.

Наслідок 1.	(Розриви монотонної функції).
	Монотонна функція може мати на лише розриви 1-го роду.

23. Теореми Вейєрштрасса.

Теорема 6.	(Неперервний образ компакта).
	Нехай неперервна на функція, де - компакт. Тоді і множина - компакт.

Доведення. Розглянемо довільну послідовність , тоді : . Тоді - підпослідовність: . З неперервності : - компакт.

Теорема доведена.

Наслідок.	(Теорема Вейєрштрасса).
	Нехай неперервна на компакті функція. Тоді вона приймає найменше та найбільше значення.

1-а теорема Ваєрштраса. Функція f , неперервна на сегменті [a;b],

обмежена на ньому.

2-а теорема Ваєрштраса. Неперервна на відрізку [a;b] функція f

досягає на ньому своїх найбільшого та найменшого значення

24. Теореми Больцано-Коші.

1-а теорема Больцано — Коші. Якщо функція f неперервна на відрізку [a;b] і набуває на його кінцях значень A = f (a) і B = f (b) різних знаків, то всередині

інтервалу (a;b) знайдеться принаймні одна точка c, для

якої f (c) = 0.

2-а теорема Больцано — Коші. Якщо функція f неперервна на відрізку [a;b],

f (a) = A, f (b) = B, і C — будь-яке число, що лежить між A та B, то в інтервалі (a;b) знайдеться точка c, в якій f (c) = C.