Типи невизначеностей.

1.

;

2.

;

3.

4.

;

5.

;

6.

7.

.

Приклад 11.

, де 1) ; 2) ; 3) .

1)

; ;

2)

;

;

3)

; ; .

Приклад 7.

.

Приклад 8.

1.

Якщо , то нехай - довільна числова послідовність, що прямує до нуля, тоді існує послідовність натуральних чисел :

. Ліва і права частини нерівності прямують до , тому середина теж прямує до .

2.

Якщо , то покладемо

.

Теорема 3.

(Неперервність композиції функцій).

Нехай неперервна в точці , а неперервна в точці . Якщо , то композиція неперервна в точці .

Наслідок.

(Границя неперервної композиції).

Нехай - гранична точка множини . Якщо і неперервна в точці , то .

Приклад 1.

Дослідити на неперервність функцію Діріхле: .

Легко довести, що вона розривна в кожній точці . Якщо , то вибираємо довільну послідовність , що збігається до , але тоді . Аналогічно доводиться для довільної ірраціональної точки.

Приклад 2.

Дослідити на неперервність функцію Рімана:

.

Розривність в кожній раціональній точці крім очевидна, легко будується послідовність ірраціональних точок , що збігається до . Доведемо неперервність в кожній ірраціональній точці , використовуючи означення за Коші. розглянемо нерівність . Якщо розглянути деякий окіл точки , то кожна ірраціональна точка задовольняє цю нерівність. Розглянемо на інтервалі всі раціональні точки, знаменники яких менші за . Їх скінчена кількість. Нехай найближча з них до . Тоді шукане . Дійсно : ми маємо: якщо , а якщо знаменник числа число - задовольняє умові.

Властивості.

(Неперервних функцій).

1)

Алгебраїчний многочлен є неперервною функцією ;

2)

Кожна раціональна функція є неперервною : ;

3)

Функції , , , , , , неперервні ;

4)

Функції , , неперервні на своїх множинах визначення.