9. Еквівалентні функції.

Якщо , то функції і називаються еквівалентними, при цьому записують ~ .

10. Асимптотичні рівності.

Якщо в деякому околі , то ~ , при цьому функція називається головною частиною функції при .

При обчисленні границь функцій часто дуже зручним виявляється замінювати їх на головні частини.

Спочатку згадаємо деякі відомі зі школи границі:

Приклад 7.	.
Приклад 8.
1.	Якщо , то нехай - довільна числова послідовність, що прямує до нуля, тоді існує послідовність натуральних чисел : . Ліва і права частини нерівності прямують до , тому середина теж прямує до .

2.	Якщо , то покладемо .

Тепер ці границі можемо використати для одержання так званих асимптотичних формул.

(1)

(2)

(3)

(4) (5)

(6)

11. Умова функцій одного порядку та критерій еквівалентності функцій.

Теорема 6.	(Умова функцій одного порядку та критерій еквівалентності функцій).
	Функції , в точці - граничній для множини , тоді:
1.	якщо : і то функції і одного порядку в околі точки ;
2.	якщо : , то ~ тоді і тільки тоді, коли .

Доведення. 1) Якщо , то : : , аналогічно, враховуючи, що , то , тобто і - одного порядку.

2) ~ : . . Аналогічно в зворотному напрямі.

Теорема доведена.

12. Односторонні границі. Критерій існування границі функції в точці.

Нехай і - гранична точка множини . Покладемо , якщо ця границя існує. Числа , називаються відповідно лівою та правою границями функції в точці . Якщо , , то відповідні границі називається нескінченими.

Теорема 4.	(Критерій існування границі функції в точці)
	Функція має границю в точці , граничній для множин тоді і тільки тоді, коли одночасно існують і рівні між собою односторонні границі і .

Доведення.

Необхідність. Якщо , то : . Тоді легко зрозуміти, що : , тобто . Аналогічно .

Достатність. Нехай , розглянемо довільну послідовність точок , що збігається до . Розіб’ємо її на дві частини, члени менші за , та члени більші за . Якщо обидві ці частини нескінчені, то ми маємо дві підпослідовності, які збігаються до , а їх значення збігаються до , і . Якщо одна з цих частин скінчена, то її можна відкинути, на збіжність це не впливає. Тобто .

Теорема доведена.

13. Границі показникової, логарифмічної та степенево-показникової функцій.

Довести, що .

- довільна послідовність, тоді (за відповідною властивістю послідовностей).

Аналогічно попередньому, використовуючи аналогічну властивість для послідовностей, легко показати, що й:

.

, якщо , та .