Енергетичні методи визначення переміщень Теорема Клапейрона :

Дійсна робота при статичній дії узагальненої сили на пружну систему дорівнює половині добутку остаточного значення сили на остаточне значення відповідного узагальненого переміщення .

A= ½ P ∆

P – узагальнена сила ( q- розподілене навантаження; P-зосереджена сила; М- зосереджений момент )

∆ - узагальнене переміщення (ω;θ).

У разі статичної дії на пружну систему кількох узагальнених сил P₁, P₂, … ,P_k робота деформації дорівнює половині суми добутків остаточного значення кожної сили на остаточне значення кожної сили на остаточне значення відповідного переміщення:

A=1/2 P∆l

Визначимо потенціальну енергію деформації пружнього елемента при чистому згині.

М н.ш.

х dx dx

dS= ρ dφ → dx= ρ dφ так як нейтральний шар:

M M dφ=dx/ ρ

d u= ½ M dφ = ½ M 1/ρ dx

Закон Гука 1/ ρ= М/ЕΙ_z

d u=1/2 (M²/ ЕΙ_z) dx

-

потенціальна енергія деформації при згині. Знак Σ означає додавання по всім ділянкам балки.

Інтеграл Мора

Р озглянемо будь-яку пружну систему.

1. Нехай діє узагальнене навантаження, сила Р₁ в точці 1. Переміщення відповідних точок системи будуть Δ₁₁, Δ₂₁ … Δ_і1.

2. Нехай діє узагальнена сила Р₂ в точці 2, переміщення відповідних точок будуть Δ₁₂, Δ₂₂ … Δ_і2.

Δ_ij – i – номер точки,яка переміщується;

j – номер точки прикладання зовнішньої сили, тобто цей індекс вказує силу, яка викликає прогин.

Розглянемо балку, яка нагружена силою Р₁. Прогин від цієї сили Δ₁₁.

П рикладаємо далі силу Р₂. До прогина Δ₁₁ точки, де прикладена сила Р₁, від цієї ж сили добавиться прогин Δ₁₂ від сили Р₂.

Робота сили Р₁ на переміщенні Δ₁₁ дорівнює за формулою Клайперона:

Відповідна енергія деформації:

Так як A₁=U_1, то .

Після прикладання сили Р₂ точка 1 одержить додаткове переміщення Δ₁₂. Робота сили Р₁ на переміщенні Δ₁₂ дорівнює:

.

В цьому виразі немає множника 1/2, так як, в процесі навантаження балки силою Р₂, сила Р₁ була вже прикладена і її значення не змінилось. Сила Р₂ здійснює роботу на переміщенні Δ₂ точки, де вона прикладена

.

Енергія деформації, яка відповідає навантаженню Р₂ дорівнює

, A₂=U₂.

Повну роботу зовнішніх сил можна представити як суму трьох доданків :

Енергію деформації при спільній дії сил та знайдемо, враховуючи, що (до визначення згинальних моментів можна застосувати принцип незалежної дії сил):

А=U

Величин - це одиничний момент,який викликається дією сил рівної 1(безрозмірна)

або - Інтеграл Мора

Δ_ip- переміщення точки і від сили Р.