Лекція№

Згин

Плоский згин

Прямолінійні стержні, що працюють на згин називаються балками.Якщо всі зовнішні навантаження діють в одній площині, що називаються силовою, причому ця площина збігаеться з однією із головних площин балки, то має місце плоский поперечний згин.

q

P

M

x

Мкр=0: N=0; Q≠0 ; M≠0;

Види опор та їх реакції

1)Затиснення або жорстке стиснення

виникає 3 складові:Ma;Ra;Na .

2)Шарнірно-нерухома опора

В

Ra

Ra

Ha

иникає дві складові:вертикальна реакція Ra та горизонтальна реакція Ha .

3)Шарнірно-рухома опора

Виникає тільки вертикальна реакція Ra.

Балки бувають:

1. Однопрольотні

2. Багатопрольотні

3. Консолі

Визначення реакцій балки

2

Ra

[P] н; [M] ;

Ha=0 з рівняння

Далі ми складову На і писати небудемо бо вона =0;

1)

2)

3)Перевірка

2

q

)

Перевірка

Тобто Ra та Rb знайшли вірно .

При плоскому згинанні балках при навантаженні, перпендикулярному до осі балки поздовжна сила буде дорівнювати нулю. Тому в будь якому перерізі балки виникають тільки два внутрішніх зусилля : поперечна сила Q та згинальний момент М .

Якщо навантаження зосереджене в головній площині стержня x y , то Qz=0 ; Mx=0 ; My=0 ; N=0 так як сили перпендикулярні осі балки.

Залишаються:

y

z P M x

Залишаються:

Установимо такі правила знаків для Q і М в балках:

1. Поперечна сила Q у перерізі додатна, якщо її вектори намагаються обертати частини розсіченої балки за годинниковою стрілкою.

Q > 0 Q < 0

2. Згинальний момент М у перерізі додатний, якщо він спричиняє стиснення у верхніх волокнах балки і спрямований таким чином:

M > 0 M < 0

Особливості епюр поперечних сил Q та згинальних моментів M

1. На ділянках, де немає розподільного навантаження епюри Q окреслюються прямими, паралельними базі, а епюри М в загальному випадку нахиленими прямими.

2. На ділянках, де до балок прикладене рівномірно розподілене навантаження q, епюра Q обмежується нахиленою прямою, а епюра М – квадратичною параболою. Випуклість параболі звернена в бік протилежний напряму дії навантаження q.

Правило дощику або парасольки:

3. В перерізах де Q = 0 , дотична до епюри М паралельна базі епюри.

4. На ділянках де Q > 0, момент зростає, де Q < 0, момент М зменшується.

5. Якщо в шарнірі, або на кінці консолі не прикладений зосереджений момент, то на епюрах моментів М=0.

6. У перерізах, де до балки прикладені зосереджені сили:

а) на епюрі Q будуть стрибки на величину і в напрямку дії прикладених сил.

б) на епюрі М будуть переломи, причому вістря перелому

спрямоване проти дії сили;

7. У перерізах, де до балки прикладені зосереджені моменти,

на епюрі М будуть стрибки на значення цих моментів (на

епюрі Q змін не буде);

8. Якщо на кінці консолі або в шарнірі прикладен

зосереджений момент, то в цьому перерізі згинальний

момент дорівнює зовнішньому моменту.

Епюри q та m при зміні

1)

Q(x) =-P

M(x) =-P*x

2)

Q(X) =-

M(X) =

3)

Ra=Rb=

Q(X)=Ra-

M(X)=

M( )= -max момент

4)

Ra=Rb=

Q(X)=Ra

M(X)=

M(a)=

5)

Диференціальні залежності при згинанні

Виділимо малий елемент dx- це О₁О₂

q=dQ/dx

∑Y=0 Q+q∙dx-(Q+dQ)=0 

∑Mo2=0 M+Q∙dx+(q∙dx∙dx)/2-(M+dM)=0

M+Q∙dx+q∙ (dx)²/2-M-dM=0

q∙ (dx)²/2=0 в силу его малости

Q=dM/dX

q=d2M/dx2

Побудова епюр при згині балок

∑М_А=0 qa∙2a-q∙2a∙a-2qa²-R_B∙2a=0

R_B=-qa

∑М_B=0 qa∙4a-q∙2a∙3a+R_A∙2a-2qa²=0

R_A=2qa

∑Yi=0 P-2qa+R_A-R_B=0

qa -2qa+2qa-qa=0

I 0 ≤ x ≤ 2a

Q(x)= qa-qx M(x)= Px-qx²/2=qa∙x-qx²/2

Q(0)=qa; Q(2a)=-qa M(0)=0 M(2a)=2qa²-2qa²=0

Q(x)=qa-qx=0 x=a M(a)= qa²-qa²/2=qa²/2

II 2a ≤ x ≤ 4a

Q(x)=qa-2qa+2qa=qa M(4a)=4qa²-6qa²+4qa²=2qa²

M(x)=qa∙x-2qa∙ (x-a)+2qa∙ (x-2a) M(2a)=2qa²-2qa²=0

Лекція №

Визначення нормальних напружень при згинанні

При прямому поперечному згинанні у поперечному перерізі балки виникають два внутрішніх зусилля Q та М; залежності між цим зусиллям та напруженнями у поперечному перерізі балки такі:

.

Отже, в поперечних перерізах балки при згинанні виникають як дотичні напруження так і нормальні напруження. Дотичні напруження при згинанні балок у переважній більшості випадків не враховуються. Особливі випадки коли величиною дотичних напружень знехтувати не можливо, тут не розглядаються.

Статична сторона задачі

Для виводу формул, що визначають нормальні напруження, які виникають в поперечному перерізі балки, розглянемо балку, що знаходиться в умовах чистого згину (рис. 6.13), тобто Q = 0 і дотичні напруження відсутні. Двома нескінченно близькими поперечними перерізами виділимо з цієї балки елемент довжиною dx (рис. 6.13,а).

Переріз балки прямокутник. В площині перерізу проведемо координатні осі (рис.6.13,б).

Приймаємо, що вісь збігається з силовою лінією (лінію перетину силової площини з площиною перерізу); вісь z проведемо перпендикулярно осі у ; вісь х направлена перпендикулярно до площини перерізу. У перерізі виділимо елемент з площею dF (точка А), його координати – у, z. При чистому згинанні (Q=0, ) на елемент діє зусилля dN = dF. Тоді з шести інтегральних рівнянь можна використати три:

Але цих трьох рівнянь статики не достатньо для визначення  , тому що невідомий закон розподілу σ по перерізу та розташування осі Z.

Геометрична сторона задачі

Розглянемо картину деформацій цієї балки. Якщо на еластичну балку нанести сітку з ліній паралельних і перпендикулярних вісій, то при чистому згинанні прямокутна сітка деформується так що:

1. поздовжні лінії викривлюються по дузі кола;

2. поперечні лінії лишаються прямими і нахиляються одна до одної;

3. поперечні лінії з поздовжніми перетинаються під прямим кутом (рис. 6.13,в).

На основі такої картини можна вважати, що при чистому згині поперечні перерізи лишаються плоскими і повертаються, лишаючись перпендикулярними до осі балки , тобто при чистому згинанні справедлива гіпотеза плоских перерізів.

Можна вважати, що відстань а між поперечними перерізами змінюється а₁ < a, a₂ > a , а саме верхні волокна скорочуються, а нижні – витягуються. Очевидно, що серед них є такі волокна які не змінюють своєї довжини. Сукупність таких волокон називаеть нейтральним шаром (рис. 6.13). Лінія перетину нейтрального шару із площиною поперечного перерізу балки називається нейтральною лінією Будемо вважати вісь z нейтральною віссю. Беручи до уваги картину деформацій, зобразимо деформований стан елемента dx ( рис. 6.14).

Виділимо елемент балки двома суміжними поперечними перерізами m – m та n – n, які розташовані один від одного на відстані dx.

Розглянемо тепер цей елемент після деформування :

Н.С.

- радіус кривизни.

Фізична сторона задачі.

На елементпрній площадці дотичних напружень немає. Волокна матеріалу не тиснуть одне на одне. Таким чином волокно a b перебуває в лінійному напруженому стані:

;

/ \

дотичних волокна не

напружень тиснуть одне

нема на одне

Синтез:

- закон Гука при згині; (добуток) – називається жорсткістю перерізу при згині

- формула Нав’є.

Формула Нав’є показує, що при згині нормальні напруження розподіляються за лінійним законом.

- Показує, що центр ваги лежить на осі Z.

- Показує, що вісі Z та y головні центральні. Тобто вісь Z нейтральна лінія перерізу проходить через центр ваги, а осі y та z – головні центральні осі перерізу.

Тобто вісь z – нейтральна лінія перелізу проходить через центр вала, а вісі у та z – головні центральні вісі перелізу. Формула Нав’є показує, що незалежно від формі та розмірів перерізу балки, напруження в точках нейтральної лінії завжди дорівнюють 0. Величина змінюється лінійно по товщині балки.

М аксимальні напруження мають місце в найбільш віддалених від нейтральної лінії волокнах. У випадку симетричного перерізу:

- осьовий момент опору

де

осьові моменти опору

Якщо переріз балки не має горизонтальної осі симетрії, то нейтральна лінія зміщена відносно середини висоти перерізу, але знову

; де

Для простіших перерізів:

П

рямокутник:

Wz = 2Iz/h = bh³2/12h = bh²/6 (6-5)

Wy = Iy2/b = hb²/6

К

оло:

Wy = Wz = 2I_ocн/d = d⁴/64d = (6-6)

Кільце:

Wz = Wy = D³ (1-D³ , (6-7)

де  = d/D – відношення внутрішнього до зовнішнього діаметра кільця.

Для прямокутного перерізу

Для кругового

Для кільцевого

Для прокатних профілів значення Wz та Wy вказані у таблицях

Якщо переріз складний то визначаємо . Далі знаходимо потім .

Затрати матеріалу пропорційна площі поперечного перерізу F. Отже чим більше відношення W/F, тим більший згинальний момент витримує переріз заданою площею.

тобто переріз має бути розташованим так, щоб осьовий момент інерції був найбільший.

умова міцності для нормальних напружень:

Тепер можна записати умову міцності для нормальних напружень при згинанні:

_max = M_max/W_z ≤ [] (6-8)

Умова міцності при згинанні дозволяє виконувати три типи розрахунків: перевірочний, проектувальний та визначення допустимого навантаження. Значення [] береться те ж, що і при розтяганні – стисканні; М_max – у небезпечному перерізі за епюрою згинального моменту.

Якщо розглядаються балки з пластичного матеріалу, не має різниці для яких волокон записати умову міцності – стиснутих або розтягнених, для пластичних матеріалів [₊] = [ _-] .