6. Решение уравнения теплопроводности

Задача 14. Решение уравнения теплопроводности через функцию Грина

Написать программу для решения с помощью функции Грина следующей задачи:

где функция отлична от нуля только на некотором отрезке.

Функция Грина уравнения теплопроводности имеет следующий вид:

.

Решение поставленной выше задачи с помощью функции Грина определяется выражением

.

Задача 15. Решение уравнения теплопроводности с помощью явной разностной схемы

С помощью явной разностной схемы найти решение следующей задачи:

Методические указания

Показать, что при больших шагах по времени явная схема неустойчива, исследовать начальную фазу развития данной неустойчивости (пример  график 7).

Пример оформления графика зависимости функции , демонстрирующего неустойчивость решения уравнения теплопроводности с помощью явной схемы дан ниже.

График 7. Зависимость решения в момент временипри начальном значениии граничных условиях. Пунктирная линия соответствует устойчивому численному решению с шагом по времении практически совпадает с аналитическим решением. Сплошная линия соответствует шагу по времении демонстрирует неустойчивость схемы.

7. Метод Монте-Карло

Задача 16. Определение функции Грина уравнения теплопроводности методом Монте-Карло

Написать программу для определения функции Грина уравнения теплопроводности методом случайных блужданий.

Методические указания

Алгоритм построения функции Грина уравнения теплопроводности методом случайных блужданий изложен, например, в 1 томе монографии [4].

Решение задач 17и 18 включает обязательное использование генератора случайных чисел p, равномерно распределенных на отрезке [0,1]. Для языков Microsoft Fortran Power Station 4.0 или Compaq Visual Fortran 6.1-6.6 возможно использование подпрограммы random(p).

Задача 17. Вычисление интегралов методом Монте-Карло

1. Написать программу вычисления определенного интеграла методом Монте-Карло.

2. Написать программу вычисления площади эллипса методом Монте-Карло.

3. Написать программу вычисления объема шара методом Монте-Карло.

Методические указания

Кроме указанной искомой величины дать статистическую ошибку ее определения методом Монте-Карло.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бахвалов Н., Жидков Н., Кобельков Г. Численные методы. СПб.: Физматлит, 2003.

2. Бартеньев О.В. Современный ФОРТРАН. М.: Диалог-МИФИ, 1998.

3. Епанешников А., Епанешников В.. Программирование в среде Turbo Pascal 7.0. М.: Диалог МИФИ, 1993.

4. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.: Мир, 1964.

Алексей Игоревич Подливаев

Компьютерный практикум "численные методы решения физических задач"

Редактор Н.Н. Антонова

Подписано в печать 2005. Формат 60х84 1/16.

Печ. л. 1,75. Уч.-изд. л. 1,75. Тираж 100 экз. Изд. № 017-1.

Заказ № .

Московский инженерно-физический институт

(государственный университет)

Типография мифи

115409, Москва, Каширское ш., 31

29