2. Формулы Ньютона  Котеса

Задача 4. Формула трапеций

Написать программу для вычисления интеграла по формуле трапеций и определения остаточного члена.

Комментарии

Формула трапеций получается при замене подынтеграль-ной функции интерполяционным многочленом Лагранжас узлами интерполяции, расположенными на границах отрезка интегрирования. Краткий вывод формулы трапеций и сама формула даны ниже:

Оценка остаточного члена получается из соответствующей оценки для многочлена Лагранжа следующим образом:

Методические указания

Интегрирование по формуле трапеций проверить, сопоставляя численный и аналитический результаты для тестового варианта расчета – интегрирования полинома – и принимая во внимание, что с помощью формулы трапеций точно интегрируется линейная функция.

Определение остаточного члена проверить интегрирова-нием произвольного квадратичного полинома, для которого остаточный член точно дополняет численный результат интегрирования по формуле трапеций до аналитически определенного интеграла на данном отрезке.

Задача 5. Формулы интегрирования с кратными узлами

Написать программу для вычисления интеграла по формулам прямоугольников и Симпсона и определения остаточ-ного члена для интегрирования по этим формулам.

Комментарии

Формулы прямоугольников и Симпсона, а также формулы для оценки остаточного члена определяются из соответствующих многочленов Лагранжа.

Формула прямоугольников с кратным узлом 

Выражение для оценки остатка имеет следующий вид:

.

Формула Симпсона имеет следующий вид:

.

Оценка остаточного члена дается следующим выражением:

.

Методические указания

Интегрирование по формулам прямоугольников и Симпсона проверить, сопоставляя численный и аналитический результаты для тестового варианта расчета – интегрирования полинома – и, принимая во внимание, что с помощью формулы прямоугольников точно интегрируется линейная функция, а с помощью формулы Симпсона – кубический полином.

Определение остаточного члена проверить интегрирова-нием произвольного квадратичного полинома и полинома четвертой степени, для которых остаточный член точно дополняет численный результат интегрирования по формулам прямоуголь-ников и Симпсона соответственно до аналитически определенного значения интеграла на данном отрезке.

3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Задача 6. Определение решения обыкновенных дифференци-альных уравнений методом разложения в ряд Тейлора

Методом разложения в ряд Тейлора определить функцию если

,

где .

Производные решения в точке разложения, необходимые для представленияв виде ряда Тейлора , определяются из начальных условий задачи и дифференцированием исходного уравнения.

Для случая, когда данная задача решается аналитически, построить графики зависимости от аналитического и нескольких

численных решений, содержащих различное число членов ряда Тейлора.

Пример решения дифференциального уравнения

Определить функцию методом разложения в ряд Тейлора в точкеесли

.

На графике 4 изображены аналитическое решение задачи и два численных решения для чиселчленов ряда Тейлора, равных 10 и 20.

График 4. Зависимость величины . Сплошная линия соответствует аналитическому решению, пунктирная – численному при , штриховая соответствует решению для параметра.

На графике видно, что увеличение числа членов ряда Тейлора приближает численное решение к аналитическому.

Задача 7. Явная и неявная схемы определения решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Написать программу для решения уравнения , реализующую для одного шага h по переменной x метод Эйлера и неявный метод Адамса второго порядка (итерационный метод Эйлера  Коши).

Определить точность этих методов, в зависимости от шага дифференцирования h для функции , при которой данное уравнение имеет аналитическое решение.Построить графики зависимости от величины h отклонения численных решений от аналитического для одного шага дифференцирования.

Метод Эйлера и неявный метод Адамса второго порядка (итерационный метод Эйлера  Коши) являются разностными методами и определяются следующими выражениями:

метод Эйлера 

Ошибка на одном шаге данного метода составляет величину ;

итерационный метод Эйлера  Коши 

,

где – номер итерации; . Ошибка на одном шаге данного метода равна .

Методические указания

Точность итерационной сходимости неявного метода Адам-са должна существенно превышать точность этого метода, которая связана с конечной величиной шага дифференцирования h. Последняя должна быть определена сравнением двух численных решений, полученных при различных шагах дифференцирования h.

Задача 8а. Методы Рунге  Кутта

Написать программу для решения уравнения , реализующую (для произвольного числа шагов h по переменной x) схему, аналогичную первому итерационному шагу итерационного метода Эйлера  Коши.

Для функции , при которой данное уравнение имеет аналитическое решение построить графики зависимости отаналитического решения и двух численных решений, полученных при различных шагах дифференцированияh.

Описание итерационного метода Эйлера  Коши смотри в задаче 7.

Задача 8б. Методы Рунге  Кутта

Написать программу для решения уравнения , реализующую (для произвольного числа шагов h по переменной x) метод Эйлера с полушагом.

Для функции , при которой данное уравнение имеет аналитическое решение, построить графики зависимости отаналитического решения и двух численных решений, полученных при различных шагах дифференцированияh.

Метод Эйлера с полушагом определяется следующими выражениями:

Ошибка на одном шаге данного метода равна .

Методические указания к задачам 8а и 8б

Точность указанного в задаче метода проверить сопоставлением отклонения от аналитического решения численного решения, полученного при шаге дифференцирования h, и при шаге дифференцирования h/2.

Пример постановки и оформления задачи 8

Определить функцию , используяметод Эйлера с полушагом, если:

.

На графике 5 изображены аналитическое решение задачи и два численных решения при шагах дифференцированияh=0,5, и h=0,25.

График 5. Зависимость величины . Сплошная линия соответствует аналитическому решению, ромбы и кружки – численному решению при шагах дифференцированияh=0,5 и h=0,25 соответственно.

На графике 5 видно, что численное решение, соответствующее шагу дифференцирования h=0,5, отстоит от точного примерно в четыре раза дальше, чем численное решение, соответствующее шагу дифференцирования h=0,25.

Задача 9. Проявление неустойчивости разностных методов

Написать программу для решения задачи Коши , реализующую (для произвольного числа шагов h по переменной x) методы Эйлера и Милна.

Описание метода Эйлера дано в задаче 7. Разностная схема Милна имеет следующий вид:

.

Методические указания

Для задачи Коши с правой частью уравнения, допускающей аналитическое решение, построить графики зависимости от величины аналитического и и двух численных решений, полученных методами Эйлера и Милна.

Комментарии

Метод Милна имеет порядок точности более высокий, чем метод Эйлера, но в отличие от последнего неустойчив. Такое сочетание свойств приводит к тому, что при малых значениях метод Милна лучше приближает точное решение, но при больших значениях аргумента численное решение расходится (график 6).

Пример постановки и решения задачи 9

Определить функцию , используяметоды Эйлера и Милна, если

.

На графике 5 изображены аналитическое решение задачи и два численных решения при шаге дифференцированияh=0,1

График 6. Пунктирная линия соответствует аналитическому решению, штриховая – методу Эйлера, сплошная – методу Милна.

Задача 10. Краевая задача

Определить функцию на отрезке, используя различные модификацииметода прогонки, если

Для функций и граничных условий, при которых задача имеет единственное аналитическое решение, сопоставить аналитическое и численное решения в нескольких точкахотрезка . Для решения четных вариантов задачи использовать метод прогонки, определяющий в два прохода значение в каждом узле сетки. Для решения нечетных вариантов задачи использовать метод встречной прогонки, определяющий за один проход значениев одном выбранном узле сетки.