4. Решение системы алгебраических уравнений

Задача 11. Метод Гаусса с выбором главного элемента

Написать программу обнуления нескольких первых столбцов матрицы системы алгебраических уравнений и преобразующую правую часть этой системы (первые стадии метода Гаусса с выбором главного элемента).

Методические указания

При выполнении задачи использовать матрицу размером , элементы которой определяются датчиком случайных чисел. Правая часть системы уравнений выбирается так, чтобы система уравнений имела некоторое наперед заданное решение, что позволяет контролировать каждое преобразование системы методом Гаусса путем прямой подстановки.

Задача 12. Итерационный метод уточнения решения системы линейных алгебраических уравнений

Реализовать в программе итерационный метод Ньютона уточнения решения системы линейных алгебраических уравнений (одна итерация) на основе стандартной программы решения системы линейных алгебраических уравнений.

Комментарии

Уточнение решения системы линейных алгебраических уравнений проводится по следующему алгоритму: пусть искомое решение системы линейных алгебраических уравнений ; приближенное решение этой системы. Вектор невязкиприближенного решения определяется следующим соотношением:. В этом случае, в соответствии с методом Ньютона, вектор , дополняющий приближенное решение до полного в линейном приближении определяется соотношением .

Накопление вычислительной ошибки происходит при решении системы уравнений. Во избежание аналогичных ошибок, определение вектора невязки следует производить с двойной точностью. Вычисление вектора невязки с двойной точностью не приводит к существенному замедлению процесса уточнения решения, поскольку требует для своей реализациидействий, в то время как решение системы алгебраических уравнений требуетдействий.

Методические указания

Решение задачи включает в себя обязательное использование математической библиотеки прикладных программ. Для языков Microsoft Fortran Power Station 4.0 или Compaq Visual Fortran 6.1-6.6 возможно использование программы lslrg библиотеки IMSL. Допускается применение любой другой программы решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса без итерационного уточнения или программы вычисления обратной матрицы. Правая часть системы уравнений выбирается так же, как в задаче 11.

5. Определение собственных значений и собственных векторов эрмитовой матрицы методом обратных итераций со сдвигом

Метод обратных итераций со сдвигом определения собственного вектораэрмитовой матрицы, размеромимеет следующий вид:

,

где единичная матрица, а верхний индекс искомого вектора обозначает номер итерации. Данный итерационный процесс выделяет тот собственный вектор, собственное значение которого расположено ближе других к числу. После определения собственного вектора, соответствующее ему собственное числоопределяется из следующего соотношения:

.

Задача 13а. Метод обратных итераций со сдвигом

Написать программу, определяющую методом обратных итераций со сдвигом собственные значения и вектора следующей задачи:

.

Задача 13б. Метод обратных итераций со сдвигом

Написать программу, определяющую методом обратных итераций со сдвигом собственные значения и вектора симметричной действительной матрицы .

Методические указания

В качестве матрицы использовать действительную симметризованную матрицу размером 10x10, наддиагональная часть которой заполнена случайными числами, распределенными на отрезке [0,1].

Решение задач 13а и 13б включает обязательное использование математической библиотеки прикладных программ решения системы алгебраических уравнений и решения собственной проблемы эрмитовой матрицы. Для языков Microsoft Fortran Power Station 4.0 или Compaq Visual Fortran 6.1-6.6 возможно использование программ lslrg и evcsf библиотеки IMSL. Допускается применение любых других программ решения аналогичных задач.

В задаче предполагается первоначальное определение спектра собственных значений эрмитовой матрицы с помощью стандартного программного обеспечения (программа evcsf), выбор величины сдвига исходя из этого спектра и определение соответствующего собственного вектора методом обратных итераций со сдвигом. Решение системы линейных алгебраических уравнений проводится также с помощью стандартной программы (например, программы lslrg).