1. Интерполирование функции

Задача 1. Интерполирование функции многочленом Лагранжа

Написать программу интерполирования функции многочленом Лагранжа.

Комментарии

Интерполяционный многочлен Лагранжа (полином по степени ) имеет следующий вид:

,

где -узлы интерполяции. Такой вид полинома обес-печивает его совпадение с интерполируемой функцией в узлах интерполяции (подробнее см. монографию [1]).

Решение данной задачи подразумевает:

а) создание и отладку программы интерполяции непрерывной функции многочленом Лагранжа. Явный вид интер-полируемой функции и область интерполяции задается преподавателем индивидуально каждому студенту. Программа должна допускать вычисление многочлена Лагранжапри произвольном числе узлов интерполяции;

б) графическое оформление результата интерполяции. На графике должна быть изображена интерполируемая функция и многочлен Лагранжа (или несколько многочленов Лагранжа, если задан не один, а несколько наборов точек интерполяции). Толщина и типы линий (сплошная, пунктирная и т.п.) должны быть подобраны таким образом, чтобы на графике были отчетливо видны все линии, даже при их совпадении (жирная пунктирная и тонкая сплошная линии различимы на примере приведенного ниже графика и при совпадении соответствующих им функций).

Пример оформления зависимости функции и соответствующего интерполяционного многочлена Лагранжапоказан на графике 1.

График 1. Многочлен Лагранжа обозначен сплошной тонкой линией, интерполируемая функция – жирным пунктиром. Узлы интерполяции, в которых интерполируемая функция совпадает с многочленом Лагранжа, отмечены кружками.

Методические указания

При отладке программы проверить:

а) совпадение многочлена Лагранжа с интерполируемой функцией в случае, когда– произвольный многочлен степени;

б) приближение многочлена Лагранжа к интерполируемой функции при увеличении числа узлов интерполяции.

Задача 2. Оценка точности интерполяционного многочлена Лагранжа

В монографии [1] доказано равенство, связывающее интерполируемую функцию и многочлен Лагранжа:

,где,.

Это равенство позволяет произвести следующую оценку точности интерполяционного многочлена Лагранжа: .

Задача состоит в построении графиков зависимости от величин и

Комментарии

Признаками правильного решения задачи являются:

а) обращение в нуль обеих функций в узлах интерполяции;

б) преобладание величины над величиной при любом значении аргумента ;

в) совпадение величин и при любом значении аргумента в случае, когда интерполируемая функцияявляется многочленом степени.

Методические указания

Поскольку в определенных случаях возможно совпадение двух изображаемых кривых, требования к оформлению графиков те же, что и в задаче 1. На графике 2 дан пример оформления зависимости модуля отклонения многочлена Лагранжа от интерполируемой функции и верхняя оценка этого отклонения на отрезке.

График 2. Зависимость величины (сплошная тонкая линия) и величины (жирная пунктирная линия) от . Ординаты узлов интерполяции:

Задача 3. Оптимизация точности интерполяционного многочлена Лагранжа за счет выбора положения интерполяционных узлов

На одном графике, аналогичном графику 2, изобразить зависимость от величин и в случае, когда ординаты узлов интерполяции получены отражением корней полинома Чебышева на отрезок интерполирования.

Комментарии

Признаками правильного решения задачи кроме перечис-ленных в задаче 2 являются:

а) равенство амплитуд функции между узлами интерполяции (смотри пример графика ниже);

б) верхнее значение функции всегда меньше аналогичной величины для случая, когда положение узлов интерполяции отличается от оптимального, то есть от корней полинома Чебышева.

ПолиномыЧебышева на отрезкеимеют следующий вид:и нули этого полинома, необходимые для интерполяции, определяются следующим выражением:.

Ниже дан пример оформления графика зависимости модуля отклонения многочлена Лагранжа от интерполируемой функции на отрезкеи верхняя оценка этого отклонения при оптимальном выборе узлов интерполяции (график 3).

График 3. Зависимость величины (сплошная тонкая линия) и величины (жирная пунктирная линия) от . Ординаты узлов интерполяции: На данном графике узлы интерполяции выбраны оптимальным образом.