ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

А. И. Подливаев компьютерный практикум

“ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ”

Москва 2005

УДК 519.6 (076.5)

ББК 22.19я7

П44

Подливаев А.И. Компьютерный практикум “Численные методы решения физических задач”. М.: МИФИ, 2005. - 28с.

Сборник содержит основные задачи, которые встречаются при научных исследованиях в области физики конденсированного состояния вещества и требуют использования ЭВМ для своего решения. Он соответствует содержанию второго семестра дисциплины "Вычислительные методы в математике и физике", изучаемой студентами групп Е4‑01,02, и дисциплине "Программирование на ЭВМ и численные методы", изучаемой студентами группы Т6-38 в рамках специальности "Физика конденсированного состояния вещества" по специализации "Сверхпроводимость и физика наноструктур".

Рецензент д-р физ.-мат. наук, профессор Кашурников Владимир Анатольевич.

Рекомендовано редсоветом МИФИ в качестве учебного пособия.

Сборник задач подготовлен при поддержке фонда CRDF (проект “Фундаментальные исследования материи в экстремальных условиях”).

© Московский инженерно-физический институт

(государственный университет), 2005

Содержание

Предисловие...................................................................................... 5

1. Интерполирование функции........................................................ 6

Задача 1. Интерполирование функции многочленом Лагранжа............................................................................... 6

Задача 2. Оценка точности интерполяционного многочлена Лагранжа ......................................................... 8

Задача 3. Оптимизация точности интерполяционного

многочлена Лагранжа за счет выбора положения интерполяционных узлов.................................................... 9

2. Формулы Ньютона  Котеса...................................................... 11

Задача 4. Формула трапеций............................................. 11

Задача 5. Формулы интегрирования с кратными узлами 13

3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений........ 14

Задача 6. Определение решения обыкновенных

дифференциальных уравнений методом разложения

в ряд Тейлора...................................................................... 14

Задача 7. Явная и неявная схемы определения решения обыкновенных дифференциальных уравнений............... 16

Задача 8а. Методы Рунге  Кутта..................................... 17

Задача 8б. Методы Рунге  Кутта..................................... 17

Задача 9. Проявление неустойчивости разностных

методов................................................................................ 19

Задача 10. Краевая задача. ................................................ 20

4. Решение системы алгебраических уравнений.......................... 21

Задача 11. Метод Гаусса с выбором главного

элемента............................................................................... 21

Задача 12. Итерационный метод уточнения решения

системы линейных алгебраических уравнений................ 21

5. Определение собственных значений и собственных векторов эрмитовой матрицы методом обратных итераций со сдвигом..... 22

Задача 13а. Метод обратных итераций со сдвигом......... 23

Задача 13б. Метод обратных итераций со сдвигом......... 23

6. Решение уравнения теплопроводности..................................... 24

Задача 14. Решение уравнения теплопроводности через

функцию Грина .................................................................. 24

Задача 15. Решение уравнения теплопроводности с

помощью явной разностной схемы .................................. 24

7. Метод Монте-Карло ................................................................... 26

Задача 16. Определение функции Грина уравнения

теплопроводности методом Монте-Карло ....................... 26

Задача 17. Вычисление интегралов методом Монте-

Карло..................................................................................... 26

Литература ........................................................................................ 27

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее пособие является продолжением учебного пособия «Компьютерный практикум “Основы численных методов решения физических задач”», изданного в МИФИ в 2004 году. Решение вошедших в предшествующий сборник задач составляет содержание осеннего семестра дисциплин «Компьютерный практикум» для студентов третьего курса кафедры "Сверхпроводимость и физика наноструктур" МИФИ и «Вычислительные методы в математике и физике» для студентов второго курса Высшего физического колледжа МИФИ. Задачи, представленные в настоящем пособии решаются студентами этих групп в рамках указанных выше дисциплин в весеннем семестре. Так же, как и в первой части курса, численное решение задач проводится с использованием языков программирования высокого уровня (FORTRAN и PASCAL).

Навыки численного решения физических задач, полученные студентами в первой части данного курса позволяют сместить акцент задач настоящего пособия от применения элементарных алгоритмов решения задач к исследованию более тонких вопросов точности и устойчивости этих алгоритмов. Подробное описание большинства численных алгоритмов, необходимых для решения приведенных в сборнике задач, а также исследование их точности и устойчивости дано в монографии [1]. Данные по структуре и синтаксису языков FORTRAN и PASCAL содержатся, например, в монографиях [2], [3].

Постановки задач в сборнике допускают существенную модификацию, что позволяет обеспечть каждого студента в группе индивидуальным заданием. Почти к каждой задаче приведены комментарии и/или методические указания, в которых обращается внимание на имеющиеся в задачах "тонкости", даны рекомендации по возможным способам проверки работоспособности программы и точности получаемого результата, что позволяет студентам самостоятельно контролировать правильность решения и точность результата на этапе отладки программы. В пособии даны примеры графического оформления результатов решения задач. Обязательное графическое оформление результатов не только ускоряет процесс сдачи решенной задачи, но и позволяет обнаружить ошибки в процессе отладки программы.