1.5. Модифицированный симплекс-метод

Модифицированный симплекс-метод (МСМ) отличается от обычного симплекс-метода (СМ) тем, что в СМ все элементы симплекс-таблиц пересчитываются на каждой итерации и при получении очередной таблицы, все предыдущие таблицы, включая исходную, не сохраняются. В МСМ сохраняется исходная таблица, а на каждой итерации определяются: строка относительных оценок C, вводимых в базис , и текущее значение вектора правых частей ограничений . Для того чтобы определить все элементы таблицы после j-й итерации СМ, достаточно знать матрицу B^-1, соответствующую этой таблице, исходную матрицу и индексы текущих базисных переменных. Тогда текущий вектор R = C_b B^-1 (индексы текущих базисных переменных определяют, какие элементы вектора оценок из исходной таблицы входят в вектор С_b); =B^-1b , где b берется из исходной таблицы, а любой столбец новой таблицы =B^-1 a_j, где a_j - столбец исходной таблицы.

Пусть задана теперь исходная таблица B^-1 , соответствующая таблице i-й итерации. Для того чтобы получить матрицу B^-1 , соответствующую (i+1)-й итерации, надо определить небазисный столбец i-й таблицы , который должен быть введен в базис. Из СМ следует, что может быть введен в базис, если C_j<0. Таким образом, необходимо вычислить С_j для i-ой таблицы, выбрать среди них <0, а затем вычислить

a_S= B^-1 и = B^-1b ( = C_j - R a_j).

Найдя разрешающий элемент и используя элементы векторов и , находим матрицу B^-1 для следующей таблицы.

Пример. Модифицированным симплекс-методом минимизировать

F = 5X₁ + 6X₂ + 3X₃ + 4X₄ + 5X₅  min

при ограничениях:

2X₁ + 3X₃ + 4X₄ + 2X₅ = 10,

3X₂ + 3X₄ + 6X₅ = 9,

Выбрав в качестве базисных переменных X₁ и Х₂, получили следующую задачу: F = 43 - 9/2X₃ - 12X₄ - 12X₅

при условиях

X₁ + 3/2X₃ + 2X₄ + X₅ = 5,

X₂ + X₄ + 2X₅ = 3 ,

.

Э та задача равносильна следующей: максимизировать Х₀= -F при условиях

Х₀ - 9/2Х₃ - 12Х₄ - 12Х₅ = - 43,

Х₁ + 3/2Х₃ + 2Х₄ +Х₅ = 5,

X₂ + Х₄ + 2Х₅ = 3,

.

Исходная таблица имеет вид

	X0	X1	X2	X3	X4	X5	X6
X0	1	0	0	-9/2	-12	-12	-43
X1	0	1	0	3/2	2	1	5
X2	0	0	1	0	1	2	3

Для исходной матрицы В будет единичной матрицей, т.е. B=I. Поэтому B^-1=I. Вектор текущих цен

R = C_b B^-1 ;

R= = .

Текущие оценки в этом случае будут C_j = Ra_j , поэтому

= = - 9/2;

= = - 12;

= = -12.

Таким образом, в базис может быть введен вектор , причем:

= B^-1a ₄ = = .

Текущий вектор правых частей

= B^-1 b = = .

Находим минимум среди отношений элементов вектора правых частей и соответствующего положительного элемента вектора :

min = .

Отсюда видно, что из базиса должен быть исключен вектор . Исключения по строкам с разрешающим элементом = 2 эквивалентно умножению слева на матрицу

= .

После умножения получим

= .

Обращением нового базиса ( Х₀, Х₄, Х₂ ) будет матрица

B^-1 = ;

R = ;

= Ra₁ = = 6;

= Ra₃ = = 9/2;

= Ra₅ = = - 6.

Разрешающим будет 5-й столбец. В базис вводим столбец :

= = ;

= = .

Находим min . Следовательно, из базиса выводим вектор , умножая слева на матрицу

= .

= .

Обращением нового базиса ( Х₀, Х₄, Х₅ ) будет матрица B^-1 .

B^-1 = ;

R = ;

= Ra₁ = = 4 > 0;

= Ra₂ = = 4 > 0;

= Ra₃ = = 3/2 > 0.

Следовательно, получаем оптимальное решение:

X₀ = - F = - 11; X₁ = X₂ = X₃ = 0;

X₄ = ; X₅ = .