Аппроксимация гиперболической функцией

Требуется с помощью МНК подобрать параметры уравнения

y =a₀ + a₁ /x ,

соответствующего наблюдаемой экспериментальной зависимости.

Имеем: (x) =a₀ + a₁ /x ,

2 =0 , где = ;

2 = 0 , где = 1.

Тогда

(2.5)

=

=

Из полученной системы (2.5) находим a₀ и a₁.

Аппроксимация функциональной зависимостью вида

y = a₀ exp( a₁ x) (2.6)

Прологарифмировав (2.6), получим ln y = ln a₀ + a₁ x

Введя обозначения ln y = Y и ln a₀ = A₀ , получим следующую зависимость: Y = a₁ x + A₀ ,

т.е. линейную функцию переменной x с параметрами a₁ и A₀ .

Имея результаты опыта в виде n пар

, x1	x2	…	xn
y1	y2	…	yn

перейдем к парам

, x1	x2	…	xn
y1	y2	…	yn

где Y_i = ln y_i , а затем для этой линейной зависимости определим приближенно параметры a₁ и A₀ по формуле (2.3).

Аппроксимация функциональной зависимостью вида

y = a₀ . ( 2.7 )

Прологарифмировав (2.7) и вводя обозначение имеем:

Y = a₁ x + A₀ ,

где Y = ln y ; A₀ = ln a₀ ; X = ln x .

Имея результаты опыта в виде n пар

, x1	x2	…	xn
y1	y2	…	yn

перейдем к парам

. X1	X2	…	Xn
y1	y2	…	yn

Здесь Y = ln y , X = ln x и по (2.3) находим a₁ и A₀ .

В заключение рассмотрим в качестве эмпирической функции многочлен

(x) = a₀ + a₁ x + … + a_m x^m .

Тогда формула для определения суммы квадратов отклонения будет иметь вид

F = ²  min.

Для составления системы уравнений найдем частные производные функции F по (a₀ , a₁, …, a_m ):

(a ₀ + a₁ x _i + … + a_m - y_i );

(a ₀ + a₁ x _i + … + a_m - y_i ) x_i ;

(a ₀ + a₁ x _i + … + a_m - y_i ) .

Приравнивая эти выражения нулю в соответствии с уравнением (2.4) и группируя коэффициенты при неизвестных a₀ , a₁, …, a_m , получим следующую систему уравнений :

(2.7)

…

Решая эту систему линейных уравнений, находим коэффициенты a₀ , a₁, …, a_m , которые являются искомыми параметрами эмпирической формулы.

Систему (2.7) можно записать в более компактной форме

b₀₀ a₀ + b₀₁ a₁ + … + b_0m a_m = c₀ ;

b₁₀ a₀ + b₁₁ a₁ + … + b_1m a_m = c₁ ;

…

b_m0 a₀ + b_m1 a₁ + … + b_mm a_m = c_m ,

г де b_ki = ; c_k = ; k, i = 0, m .

Относительные погрешности аппроксимации в заданных точках можно оценить по формуле

.

Интерполирование

В результате экспериментальных исследований часто получают таблицу значений некоторой функции f(x) при фиксированных значениях аргумента x_i , т.е. f(x_i ), i = 0, n. Аналитическая зависимость между x_i и f(x_i ) неизвестна, что позволяет вычислить значение функции f(x_i ) в промежуточных точках, отличающихся от экспериментальных точек x_i , i = 0, n. Для отыскания этих значений строят аппроксимирующую (приближенную) функцию (x), расчеты по которой совпадают либо в некотором смысле приближаются к экспериментально наблюдаемым значениям. Построение функции (x) называется интерполированием. К интерполированию прибегают и в случае, когда аналитический вид функции f(x) известен, но для получения ее значений необходимо провести большой объем вычислений. Замена функции f(x) приближенной формулой (x) позволяет упростить вычисления.

П усть y = f(x) существует для любой точки отрезка [a, b ], тогда ее значения известны только в отдельных точках x₀ , x₁ , … , x_n этого отрезка. Пусть x^* некоторая точка из [a, b], и нужно найти неизвестное значение y^* = f(x^*) по известным значениям y₀ = f(x₀) , y₁ = f(x₁) , …, y_n = f(x_n). Такая задача называется задачей интерполирования функции y = f(x).

Д ля решения этой задачи используют алгебраический многочлен n-й степени P_n( x ), принимающий в точках x₀ , x₁ , … , x_n те же значения, что и функция f(x), т.е.

Д анный многочлен называется интерполяционной формулой Лагранжа.

Е

.

го так же можно записать в следующем виде:

Это алгебраический многочлен n-й степени, удовлетворяющий всем табличным значениям функции, т.е. если в эту формулу подставить значение x = a , то получим значение  (a) = f (a), алгоритм нахождения интерполяционного многочлена представлен на рис. 2.4.

Рис. 2.4