2. Расчет режима нагрева металла.

Начальные условия: начальная температура металла 20⁰С; конечная температура поверхности слитков 1220⁰С, конечный перепад температур по сечению слитков 50⁰С.

t_ДОП = 1,4*_В/Е,

где _В -предел прочности материала слитка, МН/м²;  - коэффициент линейного расширения материала слитка, 1/град; Е - модуль упругости материала слитка, Мн/м².

Для Сталь 08 из [1] имеем:

_В = 390 МН/м²; = 11,7*10^-6 1/град;

E = 20,3*10⁴МН/м².

t_ДОП = 1,4*390/11,7*10^-6*20,3*10⁴ = 230⁰С.

_ср = (₂₀ + ₅₀₀)/2 = (63+41)/2=52 Вт/м*град

q_ДОП = 2**t_ДОП/R = 2*52*230/0,31 =77161,3 Вт/м²

Рассчитываем допустимую температуру печи:

t_{ПЧ ДОП} = = =929⁰С

Так как температура много ниже той, до которой надо нагреть, разобьем нагрев на 4 интервала и выровняем температуру сначала при 900°С, а после и при максимальной температуре 1220°С.

Температура печи в первом периоде нагрева несколько ниже допустимой по термическим напряжениям t_пч = 900°С.

Разобьем первый период нагрева на два интервала по температуре поверхности:

Первый интервал: от t_1н = 20°С до t_1к = 700°С.

Второй интервал: от t_1н = 700°С до t_1к = 850°С.

Расчет первого интервала

По формуле q_м = 1,1·С_пм·[(Т_пч/100)⁴ - (Т_пов/100)⁴] определяем тепловые потоки на поверхности металла в начале и конце интервала:

q_1н = 1,1·3,97[((900 + 273)/100)⁴ - ((20 + 273)/100)⁴] = 82353 Вт/м²;

q_1к = 1,1·3,97[((900 + 273)/100)⁴ - ((700 + 273)/100)⁴] = 43530 Вт/м².

Коэффициенты теплоотдачи в начале и конце интервала:

α_1н = q_1н/(t_пч – t_п1н) = 82353/(900-20) = 93,6 Вт/м²·град;

α_1к = q_1к/(t_пч – t_п1к) = 43530/(900-700) = 217,6 Вт/м²·град.

Среднее значение коэффициента теплоотдачи в первом интервале:

α_ср1 = (α_1н + α_1к)/2 = (93,6 + 217,6)/2 = 155,6 Вт/м²·град;

Среднее значение коэффициента теплопроводности стали в первом интервале нагрева:

λ_ср1 = (λ_п1н + λ_ц1н + λ_п1к)/3 = (λ₂₀ + λ₂₀ + λ₇₀₀)/3 = (63+ 63+ 34,3)/3 = 53,4 Вт/м·град.

Величину λ_ср1 определяем по известным значениям температур по сечению слитка:

t_п1н = 20°С – начальная температура поверхности слитка;

t_ц1н = 20°С – начальная температура центра слитка;

t_п1к = 700°С – температура поверхности слитка в конце первого интервала.

Температура центра слитка t_ц1к в конце первого интервала нам пока не известна.

Число Био в первом интервале нагрева:

Bi₁ = α_ср1 R / λ_ср1 =155,6 ·0,31/53,5 = 0,9.

Определим температурный критерий поверхности в конце первого интервала:

θ_п1к = (t_пч - t_п1к)/( t_пч – t_ср1н) = (900-700)/(900-20) = 0,23,

где t_ср1н = t_п1н = t_цн = 20°С – средняя температура по сечению слитка в начале первого интервала нагрева.

Для марки стали «Сталь 08» находим F₀₁ = 0,87 и θ_ц1к = 0,33.

Далее из выражения θ = (Т_пч – Т)/(Т_пч – Т_н) = (t_пч – t)/(t_пч – t_н) найдем температуру центра слитка в конце первого интервала нагрева:

t_ц1к = t_пч – θ_ц1к ·( t_пч – t_ср1н) = 900 – 0,33*(900 – 20) = 610°С.

Уточним значение λ_ср1 с учетом известного нам теперь значения температуры центра слитка в конце первого интервала нагрева:

λ^’_ср1 = (λ₂₀ + λ₂₀ + λ₇₀₀ + λ₆₁₀)/4 = (63+63+34,3+37,8)/4 = 49,5 Вт/м·град.

Разница между уточненным λ^’_ср1 и его первоначальным значением λ_ср1 составляет

(53,4-49,5)·100/53,4 = 7,3%,

поэтому пересчитывать не будем. Если же эта разница превысит 10%, следует выполнить дополнительные расчеты при новом значении числа Bi₁, рассчитанном с λ^’_ср1.

Перепад температур по сечению слитка в конце первого интервала нагрева:

Δt_1к = t_п1к – t_ц1к = 700 – 610 = 90°С.

Средняя температура по сечению слитка в конце первого интервала:

t_ср1к = t_ц1к + Δt_1к/2 = 610 +90/2 = 655°С.

Расчетная теплоемкость стали в первом интервале нагрева

С_р1 = (i_{t ср1к} – i_{t ср1н})/( t_ср1к –t_ср1н) = (i₆₅₅ – i₂₀)/(655–20)= (399,1–10)/635 = 0,613 кДж/кг·град,

где i – теплосодержание стали при соответствующей температуре.

Среднее значение коэффициента температуропроводности в первом интервале нагрева

a_ср1 = λ_ср1/(С_р1·ρ) = 53,4/(613·7860) = 110,8·10^-7 м²/с = 0,0399 км²/ч,

где ρ – плотность стали, кг/м³. Поскольку плотность стали мало зависит от температуры, будем считать ρ = 7860 кг/ м³ = const для всего времени нагрева слитков.

Время нагрева в первом интервале:

τ₁ = F₀₁·R²/а_ср1 = 0,87·(0,31)²/0,0399 = 2,1 ч.

Температура газа в начале нагрева

t_г1н = 100·⁴√q_1н/С_гм + (Т_п1н/100)⁴ – 273 = 100·⁴√82353/2,84+ ((20+273)/100)⁴ - 273 = 1033°С.

Температура газа в конце первого интервала нагрева:

t_г1к = 100·⁴√43530/2,84 + ((700+273)/100)⁴ - 273 = 985°С.

Температура кладки в начале нагрева:

t_кл1н = 100·⁴√q_1н/С_км + (Т_п1н/100)⁴ – 273 = 100·⁴√82353/5,01 + ((20+273)/100)⁴ - 273 = 861°С.

Температура кладки в конце первого интервала:

t_кл1к = 100·⁴√43530/5,03 + ((700+273)/100)⁴ - 273 = 879°С.

Расчет второго интервала

Порядок проведения расчета режима нагрева металла для второго, третьего и четвертого интервалов такой же, как и для первого:

q_2н = 43530 Вт/м²;

q_2к = 1,1·3,97·[((900 + 273)/100)⁴ - ((850 + 273)/100)⁴] = 13220 Вт/м²;

α_2н =217,6 Вт/м²·град;

α_2к = q_2к/(t_пч – t_п2к) = 13220/(900-850) = 264,4 Вт/м²·град;

α_ср2 = (α_2н + α_2к)/2 = (217,6 + 264,4)/2 = 241 Вт/м²·град;

λ_ср2 = (λ_п2н + λ_ц2н + λ_п2к)/3 = (λ₇₀₀ + λ₆₁₀ + λ₈₅₀)/3 = (34,3 + 36,6+ 28,5)/3 =33,1 Вт/м·град;

Bi₂ = α_ср2 · R / λ_ср2 = 241 ·0,31/33,1 = 2,26;

θ_п2к = (t_пч - t_п2к)/( t_пч – t_ср1к) = (900-850)/(900-655) = 0,21;

Для марки стали «Сталь 08» находим F₀₂ = 0,35 и θ_ц2к = 0,37.

t_ц2к = t_пч – θ_ц2к ·( t_пч – t_ср1к) = 900 – 0,37(900 – 655) = 805°С;

λ^’_ср2 = (λ₇₀₀ + λ₆₁₀ + λ₈₅₀ + λ₈₀₅)/4 = (34,3 + 36,6+ 28,5+29,9)/4 = 33,3 Вт/м·град;

Разница между уточненным λ^’_ср2 и его первоначальным значением λ_ср2 составляет (33,3– 33,1)·100/33,3 = 0,6 %, поэтому пересчитывать не будем.

Δt_2к = t_п2к – t_ц2к = 850 – 805= 45°С;

t_ср2к = 805+ 45/2 = 828°С;

С_р2 = (i₈₇₃ – i₆₅₅)/(873 – 655) = (612,7 – 398,5)/136 = 0,983 кДж/кг·град;

a_ср2 = λ_ср2/(С_р2·ρ) = 33,1/(983·7860) = 42·10^-7 м²/с = 0,015 м²/ч;

τ₂ = F₀₂·R²/а_ср2 = 0,40·(0,31)²/0,015 = 2,6 ч;

t_г2н = 985°С;

t_г2к = 100·⁴√13220/2,84+ ((850+273)/100)⁴ - 273 = 970°С;

t_кл2н = 879°С;

t_кл2к = 100·⁴√13220/5,01+ ((850+273)/100)⁴ - 273 = 894°С.

Второй период нагрева

Температура печи во втором периоде нагрева t_пч = 1270°С.

Разобьем второй период нагрева на два интервала по температуре поверхности:

Третий интервал: от t_3н = 850°С до t_3к = 1000°С.

Четвертый интервал: от t_4н = 1000°С до t_4к = 1220°С.

Расчет третьего интервала

Порядок проведения расчета режима нагрева металла для третьего и четвертого интервалов такой же, как и для первого:

q_3н = 1,1·3,97[((1270 + 273)/100)⁴ - ((850 + 273)/100)⁴] = 178086 Вт/м²;

q_3к = 1,1·3,97[((1270 + 273)/100)⁴ - ((1000 + 273)/100)⁴] = 132858 Вт/м²;

α_3н = q_3н/(t_пч – t_п3н) = 178086/(1270-850) = 424 Вт/м²·град;

α_3к = q_3к/(t_пч – t_п3к) = 132858/(1270-1000) = 492 Вт/м²·град

α_ср3 = (α_3н + α_3к)/2 = (424 + 492)/2 = 458 Вт/м²·град

λ_ср3 = (λ_п3н + λ_ц3н + λ_п3к)/3 = (λ₈₅₀ + λ₈₀₅ + λ₁₀₀₀)/3 = (27,2+28,3+ 27,7)/3 = 27,7 Вт/м·град.

Bi₃ = α_ср3 R / λ_ср3 =458·0,31/27,7 = 5,1;

θ_п3к = (t_пч - t_п3к)/( t_пч – t_ср2н) = (1270-1000)/(1270-873) = 0,68

Для марки стали «Сталь 08» находим F₀₃ = 0,11 и θ_ц3к = 0,91.

t_ц3к = t_пч – θ_ц3к ·( t_пч – t_ср2н) = 1270 – 0,91(1270 – 873) = 909°С;

λ^’_ср3 = (λ₈₅₀ + λ₉₀₉ + λ₁₀₀₀ + λ₈₀₅)/4 = (27,2+26,8+ 27,7+28,3)/4 = 27,5 Вт/м·град.

Разница между уточненным λ^’_ср3 и его первоначальным значением λ_ср2 составляет (27,7 – 27, 5)·100/27,7 = 0,72%, поэтому пересчитывать не будем.

Δt_3к = t_п3к – t_ц3к = 1000 – 909 = 91°С

t_ср3к = t_ц3к + Δt_3к/2 = 909 +91/2 = 954,5°С.

С_р3 = (i_{t ср3к} – i_{t ср3н})/( t_ср3к –t_ср3н) = (i_954,5 – i₈₇₃)/(954,5–873)= (666,3–607,2)/81,5=0,76 кДж/кг·град

a_ср3 = λ_ср3/(С_р3·ρ) = 27,7/(760·7860) = 46·10^-7 м²/с = 0,017 м²/ч;

τ₃ = F₀₃·R²/а_ср3 = 0,11·(0,31)²/0,017= 0,84 ч;

t_г3н = 100·⁴√q_3н/С_гм + (Т_п3н/100)⁴ – 273 = 100·⁴√178086/2,84 + ((850+273)/100)⁴-273 =1401°С;

t_г3к = 100·⁴√132858/3,00 + ((1000+273)/100)⁴ - 273 = 1357°С.

t_кл3н = 100·⁴√q_3н/С_км + (Т_п3н/100)⁴–273 = 100·⁴√178086/5,02+((850+273)/100)^{4 -} 273=1202,6°С

t_кл3к = 100·⁴√132858/5,01 + ((1000+273)/100)⁴ - 273 = 1243°С.

Расчет четвертого интервала

q_4н = 132858 Вт/м²;

q_4к = 1,1·3,97·[((1270 + 273)/100)⁴ - ((1220 + 273)/100)⁴] =30559 Вт/м²;

α_4н = 492 Вт/м²·град;

α_4к = q_4к/(t_пч – t_п4к) = 30559/(1270-1220) = 611,2 Вт/м²·град;

α_ср4 = (α_4н + α_4к)/2 = (492+ 611,2)/2 = 551,6 Вт/м²·град;

λ_ср4 = (λ_п4н + λ_ц4н + λ_п4к)/3 = (λ₁₀₀₀ + λ₉₀₉ + λ₁₂₂₀)/3 = (27,7+26,8+ 29,8)/3 =28,1 Вт/м·град;

Bi₄ = α_ср4 · R / λ_ср4 = 551,6·0,31/28,1 = 6,08;

θ_п4к = (t_пч - t_п4к)/( t_пч – t_ср3к) = (1270-1220)/(1270-954,5) = 0,16;

По графикам находим F₀₄ = 0,17 , а θ_ц4к = 0,67.

t_ц4к = t_пч – θ_ц4к ·( t_пч – t_ср3к) = 1270 – 0,67(1270 –954,5) = 1059°С;

λ^’_ср4 = (λ₁₀₀₀ + λ₉₀₉ + λ₁₂₂₀ + λ₁₀₅₉)/4 = (27,7+26,8+ 29,8+28,1)/4 = 28,1 Вт/м·град;

Разница между уточненным λ^’_ср4 и его первоначальным значением λ_ср4 составляет (28,1 – 28,1)·100/28,1= 0%, поэтому пересчитывать не будем.

Δt_4к = t_п4к – t_ц4к = 1220 – 1059 = 161°С;

t_ср4к = 1059 + 161/2 = 1139,5°С;

С_р4 = (i_1139,5 – i_954,5)/(1139,5-954,5)= (787,9 – 666,3)/185 = 0,66 кДж/кг·град;

a_ср4 = λ_ср4/(С_р2·ρ) = 28,1/(660·7860) = 54·10^-7 м²/с = 0,019 м²/ч;

τ₄ = F₀₄·R²/а_ср4 = 0,17·(0,31)²/0,019 = 0,96 ч;

t_г4н = 1357°С;

t_г4к = 100·⁴√30559/3+ ((1220+273)/100)⁴ - 273 = 1291°С;

t_кл4н = 1243°С;

t_кл4к = 100·⁴√30559/5,01 + ((1220+273)/100)⁴ - 273 = 1264°С

Третий период нагрева

Нагрев происходит при условии t_п = 1270°С = const (т.е. при граничных условиях первого рода) для выравнивания температур по сечению слитка от Δt_н = 161°С в конце второго периода нагрева до завершения заданного значения Δt_к = 50°С.

Время выравнивания температур по сечению цилиндра радиуса R найдем из формулы

τ_в = (-R²/5,76·а)·(ln(Δt_к/(1,11· Δt_н))).

Среднее значение коэффициента теплопроводности в третьем периоде нагрева:

λ_срв = (λ₁₂₂₀ + λ₁₀₅₉ + λ₁₂₂₀ + λ₁₁₇₀)/4 = (29,8+28,1+29,8+29,5)/4 = 29,3 Вт/м·град.

Средняя температура по сечению слитка в конце нагрева (в конце периода выдержки):

t_срв = 1170 + Δt_к/2 = 1170 + 0,5·50 =1195°С.

Расчетная теплоемкость в третьем периоде нагрева:

С_рв = (i₁₁₉₅ – i_1139,5)/(1195 – 1139,5) = (823,34 – 787,92)/55,5 = 0,64 кДж/кг·град.

Среднее значение коэффициента температуропроводности в период выравнивания температур:

а_в = 29,3 /(640·7860) = 58·10^-7 м²/с = 0,021 м²/ч.

Определяем продолжительность периода выравнивания температур:

τ_в = -(0,31)²/(5,76·0,021) · ln(50/(1,11·161)) = 1,08 ч.

Тепловой поток на поверхности металла в конце периода выдержки:

q_к = 2·λ_к·Δt_к/R = 2·29,8·50/0,31 = 9612,9 Вт/м².

Температура газов в печи в конце выдержки:

t_гв = 100·⁴√9612,9/3 + ((1220+273)/100)⁴ – 273 = 1243,5°С.

Температура печи в конце выдержки:

t_пчв = 100·⁴√9612,9/3,97 + ((1220+273)/100)⁴ – 273 = 1237,9°С.

Температура кладки в конце выдержки:

t_клв = 100·⁴√9612,9 /5,09 + ((1220+273)/100)⁴ – 273 = 1234,0°С.

Общее время нагрева слитков:

τ = τ_н + τ_в = 6,5 + 1,08 = 7,58 ч.

Общая масса садки печи(количество садок 2):

Е = 2V_м·ρ =2LπR² ρ = 2*1,7*3,14*0,31²·7860 = 8064,1 кг.

Производительность печи:

G = E/τ = 8064,1 /7,58 = 1063,9 кг/ч.

Напряженность пода печи:

P = G/F_под = 1063,9 /(3,7·2) =143,8 кг/м² ·ч.

Результаты расчета нагрева металла под ковку сведены в табл. 3.2

Таблица 3.2

Результаты расчета режима нагрева слитков диаметром 620 мм и длиной 1700 мм из Стали 08 под ковку

Время, ч	∑ τ	tц	tср	tп	tкл	tпч	tг	qпов, Вт/м2	∆ t
τ = 0	0	20	20	20	861	950	1033	82353	0
τ 1 = 2,1	2,1	610	655	700	879	950	985	43530	90
τ2 = 2,6	4,7	805	828	850	894	950	970	13220	45
τ = 0	4,7	805	828	850	894	1270	1401	178086	45
τ3 = 0,84	5,54	909	954,5	1000	1243	1270	1357	132858	91
τ4 = 0,96	6,5	1059	1139,5	1220	1264	1270	1291	30559	161
τв = 1,08	7,58	1170	1202,6	1220	1234	1237,9	1243,5	9612,9	50