22 Свойства замкнутости класа контекстно-свободных языков.

Теорема 1. Если L — контекстно-свободный язык, то L^∗ тоже контекстно-свободный язык. Доказательство. Пусть язык L порождается грамматикой <N, Σ,P,S>. Тогда язык L^∗ порождается грамматикой <N ∪{ T } , Σ,P ∪{ T → ST, T → ε} ,T >,где T не ∈ N ∪ Σ. Теорема 2. Если L₁ и L₂ — контекстно-свободные языки над алфавитом Σ,то L₁ · L₂ тоже контекстно-свободный язык. Доказательство. Пусть язык L₁ порождается грамматикой <N₁, Σ,P₁,S₁> и L₂ порождается грамматикой <N₂, Σ,P₂,S₂>, где N₁ ∩ N₂ = ∅.Тогда L₁ · L₂ порождается грамматикой <N₁∪ N₂∪{ T } , Σ,P₁∪ P₂∪{ T → S₁S₂} ,T >,где T не ∈ N₁∪ N₂∪ Σ. Теорема 3. Если L₁ и L₂ — контекстно-свободные языки над алфавитом Σ,то L₁ ∪ L₂ тоже контекстно-свободный язык. Доказательство. Пусть язык L₁ порождается грамматикой <N₁, Σ,P₁,S₁> и L₂ порождается грамматикой <N₂, Σ,P₂,S₂>, где N₁ ∩ N₂ = ∅.Тогда L₁ ∪ L₂ порождается грамматикой <N₁ ∪ N₂ ∪{ T } , Σ,P₁ ∪ P₂ ∪{ T → S₁,T → S₂} ,T >,где T не ∈ N₁ ∪ N₂ ∪ Σ. Теорема 4. Если L — контекстно-свободный язык, то L^R тоже контекстно-свободный язык.

23 Свойства замкнутости класса линейных языков.

Теорема 1. Если L₁ и L₂ — линейные языки над алфавитом Σ,то L₁ ∪ L₂ тоже линейный язык. Доказательство. Пусть язык L₁ порождается грамматикой <N₁, Σ,P₁,S₁> и L₂ порождается грамматикой <N₂, Σ,P₂,S₂>, где N₁ ∩ N₂ = ∅.Тогда L₁ ∪ L₂ порождается грамматикой <N₁ ∪ N₂ ∪{ T } , Σ,P₁ ∪ P₂ ∪{ T → S₁,T → S₂} ,T >,где T не ∈ N₁ ∪ N₂ ∪ Σ. Пример. Рассмотрим алфавит Σ= { a, b, c} .Язык L =Σ^∗ −{ aⁿbⁿcⁿ | n >=0} является линейным, поскольку L = L₁ ∪ L₂ ∪ (Σ^∗ − L₃), где языки L₁ = { a^mbⁿc^k | m ≠ n, k >= 0}и L₂ = { a^mbⁿc^k | n ≠ k, m >= 0} являются линейными, а язык L₃ = { a^mbⁿc^k | m >= 0,n >= 0,k >= 0} является автоматным и можно применить теорему 1:Каждый автоматный язык является право-линейным; и теоремму 2: Если L1 и L2 — линейные языки над алфавитом Σ,то L1 ∪ L2 тоже линейный язык

24 Свойства замкнутости регулярных языков.

Класс языков, распознаваемых конечными автоматами, замкнут относительно: а)объединения; б)конкатенации; в)навешивания звездочки Клини; г)взятия дополнения; д)пересечения. Д/во: мы должны показать, что если есть два языка, распознаваемых автоматами M1 и M2, то существует автомат M , распознающий язык, получающийся из 2х предыдущих (для навешивания звездочки Клини и взятия дополнения из языка, распознаваемого автоматом M1) с помощью рассматриваемой операции. а) Объединение. мн-ва K1 и K2 не пересекаются. Тогда автомат M, распознающий язык L(M1) ∪ L(M2): M = <K, Σ, ∆, s, F>, где s -новое состояние, не входящее ни в K1, ни в K2, K = K1 ∪ K2 ∪ {s}, F = F1 ∪ F2, ∆ = ∆1 ∪ ∆2 ∪ {<s, e, s1>, <s, e, s2>}. Если w ∈ Σ∗, то <s, w> |-∗M <q, e> для некоторого q ∈ F тогда и только тогда, когда или <s1, w> |-∗M1 <q, e> для некоторого q ∈ F1, или <s2, w> |-∗M2 <q, e> для некоторого q ∈ F2. M распознает w тогда и только тогда, когда или M1 распознает w, или M2 распознает w, и L(M) = L(M1) ∪ L(M2). б) Конкатенация. пусть M1 и M2 - НДА; построим НДА M такой, что L(M) = L(M1) ◦ L(M2). M вначале имитирует работу M1, а затем недетерминированно прыгает из конеч сост M1 в нач сост M2, после чего имитирует работу M2. в) Навешивание звездочки Клини. Пусть M1 - НДА. Построим НДА M такой, что L(M) = L(M1)∗. M состоит из сост M1 и всех переходов M1; любое конеч сост M1 является конеч сост M. в M есть новое нач сост s1. Новое нач сост также является конечным, поэтому пустое слово распознается. Из s'1 существует e-переход в s1 начальное состояние M1, поэтому имитация работы M1 может начаться как только M начнет работу из состояния s1. Кроме того, из каждого конечного состояния M1 добавлен e-переход обратно в s1, поэтому как только прочитывается слово из L(M1), автомат может перейти в нач сост автомата M1. г) Взятие дополнения. Пусть M = <K, Σ, δ, s, F> ДКА. Тогда язык L =Σ∗ \ L(M) распознается ДКА M = <K, Σ, ∆, s, K \ F>. Иными словами, M идентичен M с точностью до взаимозамены конечных и неконечных состояний. д) Пересечение.заметим, что L1 ∩ L2 = Σ∗ \ ((Σ∗ \ L1) ∪ (Σ∗ \ L2)), и потому замкнутость относительно пересечения следует из замкнутости относительно объединения дополнения, т.е. из пунктов а) и г) . #