19 Понятие языка и алфавита, операции над языками.

Алфавит-конечный (непустой) набор символов. пример, бинарный алфавит {0, 1}. Словом называется конечная последовательность символов алфавита. пустое слово - e, Слова - u,v,x,y,z,w. Множество всех слов алфавита Σ, будет обозначаться Σ^∗. Длиной слова является его длина как последовательности символов. (w через|w|, пример |101|=3, |e|=0). функция: w : {1, . . . , |w|} → Σ, при этом w(j) при 1 ≤ j ≤ |w| это j-й символ слова w. Конкатенация слов x и y, обозначаемая как x ◦ y или просто xy, это слово x, за которым записано слово y. |w| = |x| + |y|, w(j) = x(j) для j = 1, . . . , |x| и w(|x| + j) = y(j) для j = 1, . . . , |y|. w ◦ e = e ◦ w = w. СловоV называется подсловом слова w в том, и только в том случае, если существуют слова x и y такие, что w = xVy. Обращением слова w, записываемым как wR, будем называть то же самое слово, записанное наоборот. Формальное определение такого:

1)Если w -слово|w|=0, то w^R = w = e. 2)Если |w|=n+1>0, то w = ua, a ∈ Σ, и w^R = au^R.

Любое множество слов алфавита Σ, то есть любое подмножество Σ∗, мы будем называть языком.

Σ^*-счетное, для всех Σ -конечное мн-во.

1)Для каждого k ≥ 0 все слова длины k перечисляются решения всех строк длины k + 1. 2)Все n^k слов длины k перечисляются в лексикографическом порядке. операция над языками:1) А-язык, то Ā= Σ^*\А; 2) конкатенация языков L₁ и L₂ -языки алфавита Σ, то L= L₁ ◦ L₂ L = {w ∈ Σ^∗|w = x ◦ y, x ∈ L₁, y ∈ L₂}. 3) навешивание звездочки Клини на язык L, L^∗. L^∗ -это мн-во всех слов, получаемых путем конкатенации нуля или более слов из L (конкатенация нуля -это e, а конкатенация одного слова -это само это слово). L^∗ = {w ∈ Σ^∗|w = w₁ ◦ ...◦ w_k , k ≥ 0 и w₁,..., w_k∈ L}.

20 Порождающая грамматики. Эквивалентность грамматики.

Порождающей грамматикой (грамматикой типа 0) называется четвёрка G <N,Σ, P, S>, где N и Σ — конечные алфавиты, N∩Σ = ∅, P⊂(N∪Σ)⁺×(N∪Σ)^∗, P конечно и S ∈ N. Здесь Σ — основной алфавит (терминальный алфавит), его элементы называются терминальными символами или терминалами , N — вспомогательный алфавит (нетерминальный алфавит), его элементы называются нетерминальными символами, нетерминалами или переменными, S — начальный символ (аксиома). Пары (α, β) ∈ P называются правилами подстановки, просто правилами или продукциями и записываются в виде α → β. Пример. Пусть даны множества N = {S}, Σ = {a, b, c}, P = {S → acSbcS, cS → ε}. Тогда <N,Σ,P,S> - является порождающей грамматикой. Две грамматики эквивалентны, если они порождают один и тот же язык. Пример. Грамматика S → abS, S → a и грамматика T → aU, U → baU, U → ε эквивалентны.

21 Свойсва контекстно-свободных языков (cfl). Примеры. Теорема о контекстно-свободном языке.

CFL – замкнуты относительно следующих операций: объединения, конкатенации, замыкания, обращения. Теорема 1. Если L — контекстно-свободный язык, то L^∗ тоже контекстно-свободный язык. Доказательство. Пусть язык L порождается грамматикой <N, Σ,P,S>. Тогда язык L^∗ порождается грамматикой <N∪{T}, Σ,P ∪{ T → ST, T → ε} ,T >,где T не ∈ N ∪ Σ. Теорема 2. Если L₁ и L₂ — контекстно-свободные языки над алфавитом Σ,то L₁ · L₂ тоже контекстно-свободный язык. Доказательство. Пусть язык L₁ порождается грамматикой <N₁, Σ,P₁,S₁> и L₂ порождается грамматикой <N₂, Σ,P₂,S₂>, где N₁ ∩ N₂ = ∅.Тогда L₁ · L₂ порождается грамматикой <N₁∪ N₂∪{ T } , Σ,P₁∪ P₂∪{ T → S₁S₂} ,T >,где T не ∈ N₁∪ N₂∪ Σ. Теорема 3. Если L₁ и L₂ — контекстно-свободные языки над алфавитом Σ,то L₁ ∪ L₂ тоже контекстно-свободный язык. Доказательство. Пусть язык L₁ порождается грамматикой <N₁, Σ,P₁,S₁> и L₂ порождается грамматикой <N₂, Σ,P₂,S₂>, где N₁ ∩ N₂ = ∅.Тогда L₁ ∪ L₂ порождается грамматикой <N₁ ∪ N₂ ∪{ T } , Σ,P₁ ∪ P₂ ∪{ T → S₁,T → S₂} ,T >,где T не ∈ N₁ ∪ N₂ ∪ Σ. Теорема 4. Если L — контекстно-свободный язык, то L^R тоже контекстно-свободный язык. Множество CFL не замкнуто относительно операции пересечения. Пример: L­₁={0­ⁿ1ⁿ2^i­ | n≥1,i≥1}, L­₂={0­ⁱ1ⁿ2^i­ | n≥1,i≥1}. Теорема о контекстно-свободном языке. Пусть L — контекстно-свободный язык над алфавитом Σ. Тогда найдётся такое натуральное число p, что для любого слова w ∈ L длины не меньше p найдутся слова u, v, x, y, z ∈ Σ^∗, для которых верно uvxyz = w, vy ≠ ε (то есть v ≠ ε или y ≠ ε), |vxy|≤p и uvⁱxyⁱz ∈ L для всех i ∈ N. Пример: Язык: L={0­ⁿ1ⁿ2^n­ | n≥1}. z = 0­ⁿ1ⁿ2^i­ =uvwxy, где n – характеристика CFL. Возможные варианты разбиения: vwx не содержит 2; vwx не содержит 0; vwx содержит только 1.