![](/user_photo/1363_n5AgO.jpg)
- •Основные объекты графов
- •Способы задания графов
- •Изоморфизм на графах
- •Элементы графов
- •Степень вершины. Степень графа
- •Типы графов
- •Операции на графах
- •Связность в графах Понятие цепи
- •Связность графа
- •Компоненты связности графа
- •Нахождение компонент связности
- •Связность в орграфах
- •Нахождение ксс
- •Циклы в графе Эйлеровы и Гамильтоновы циклы
- •Цикломатика графа
- •Алгоритм нахождения базисной системы циклов
- •Разделяющие множества. Разрезы
- •Алгоритм нахождения базисной системы разрезов
- •Устойчивость графа Внешняя устойчивость графа
- •Внешняя устойчивость орграфа
- •Внутренняя устойчивость графа
- •Алгоритм нахождения пустых подграфов
- •Полные подграфы. Плотность графа
- •Алгоритм нахождения полных подграфов
Нахождение ксс
ТеоремаЛюбая
вершина орграфа принадлежит ровно одной
КСС орграфа.
,
где
- множество вершин, достижимых из
,
- множество вершин, из которых достижимо
.
Пример
- группировка,
- отношение влияния.
Кланы – совокупности группировок с равными «правами» по отношению друг к другу и к внешним группировкам.
Сети
Орграф, в котором отсутствуют контуры, называется сетью. В сети есть следующие особые элементы:
вершина-исток( |
вершина-сток( |
Каждая вершина в
сети является компонентой сильной
связности. Пусть
- орграф и
- его КСС.Конденсатоморграфа
называется сеть, которая получена из
орграфа путем сжатия каждой КСС в одну
вершину.
Циклы в графе Эйлеровы и Гамильтоновы циклы
Цикл в графе называется Эйлеровым, если любое ребро графа участвует в его образовании ровно один раз. Граф, содержащий Эйлеров цикл называетсяЭйлеровым.
Теорема ЭйлераГраф является Эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четные.
Цикл в графе называется Гамильтоновым, если каждая вершина графа участвует в его образовании ровно один раз. Граф, содержащий Гамильтонов цикл называетсяГамильтоновым.
Свойства «Эйлеровости» и «Гамильтоновости» являются независимыми.
|
|
|
|
Цикломатика графа
Пусть
- граф. Цикл в графе может быть записан
в виде
,
где
Пример
Каждый цикл может
быть представлен в качестве двоичного
вектора. Множество циклов образует
пространство двоичных векторов.Цикломатический базис– совокупность
линейно независимых циклов графа, с
помощью которых могут быть получены
все остальные циклы.Цикломатическое
число графа
- мощность базисной системы циклов графа
.
Пример
Граф, у которого цикломатическое число равно 0, называется деревом(илиациклическим графом). Многокомпонентный ациклический граф называетсядеревом.Остов графа– частичный граф исходного графа, в котором число вершин и число компонент связности совпадает с числом вершин и числом компонент связности исходного графа, но цикломатическое число равно 0.
Алгоритм нахождения базисной системы циклов
1. Получить остов
графа (удалить
ребер; удаляемые ребра называютсяхордами).
2. Добавляя к остову
поочередно по одной хорде получаем
базисную систему циклов.
Пример
|
остов |
хорды | ||||||
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
Множество всех
циклов графа:
Число циклов в
графе не превосходит
.
Пример
|
1 |
Теорема КенигаГраф двудолен тогда и только тогда, когда он не содержит циклов нечетной длины.
Разделяющие множества. Разрезы
Пусть
- некоторый связный граф. Подмножество
ребер графа называетсяразделяющим
множеством, если удаление их из графа
изменяет число компонент связности.
Разделяющее множество называетсяразрезомграфа, если любое его
собственно подмножество не является
разделяющим.
Пример
- разделяющее
множество, разрез.
цикл
разрез (коцикл)
Коциклический
ранг
- число линейно независимых коциклов
графа.
.
Пример
.